COMO FUNCIONA:
EL COHETE (Sistema de masa variable)
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José Luis Giordano
Julio 18, 2006 (Última revisión: Mayo 03, 2010)



1-QUÉ ES

Un cohete es una clase de vehículo o de transporte (de objetos, instrumentos, explosivos, animales, personas, etc.) que utiliza uno o varios motores de propulsión a chorro. Es decir que el principio físico que utiliza para impulsarse el cohete es arrojar materia hacia atrás, como también hace un avión jet o un simple regador giratorio de jardín que expulsa agua en todas las direcciones. Sin embargo, las ecuaciones que rigen el movimiento del cohete (con las que se determina su velocidad, trayectoria y alcance), son muy diferentes, ya que el cohete no utiliza alas para guiarse, ni está sujeto a un eje de rotación. Mientras el cohete se aleja o se mueve rozando la atmósfera bajo la influencia gravitatoria de La Tierra, o mientras viaja en el espacio interestelar, va perdiendo masa.

El vehículo del que se habla en este artículo, físicamente es un sistema de masa variable con motor de propulsión a chorro.


2-PARA QUÉ SIRVE

Los cohetes se pueden clasificar en los siguientes dos grandes grupos:

a) Cohetes ACELERADORES:

El cohete se usa, por ejemplo, para lanzar e impulsar juegos pirotécnicos, bombas y equipos meteorológicos;

Pequeños cohetes en el sistema de navegación, sirven para corregir la trayectoria de sondas interplanetarias y satélites;

Colocados en la espalda de un traje (como el que se vió en los "Games of the XXIII Olympiad" en Los Angeles, 1984, o en algún film de Ciencia-Ficción o del agente 007 James Bond), los cohetes portátiles sirven para elevar e impulsar instrumentos y/o personas en zonas o planetas donde no sea posible caminar o no sea práctico realizar largas caminatas, debido por ejemplo, a la existencia de un abismo o debido al peso e incomodidad de un traje espacial.


b) Cohetes LANZADORES:

Los lanzadores ("shuttle" en inglés) son vehículos espaciales que se utilizan para sacar de la atmósfera terrestre, por ejemplo, astronautas, satélites de comunicaciones, telescopios espaciales, estaciones espaciales, y sondas interplanetarias, a velocidades que les permitan abandonar la gravedad terrestre y quedar en órbita o impulsarse en el espacio exterior. Este es el caso, por ejemplo, del extraordinario cohete lanzador Saturno V, cuya réplica de juguete se observa en la siguiente fotografía.



En este artículo, se habla del cohete en general, sin clasificar su aplicación, para explicar y definir las cantidades que nos permiten luego distinguir cuantitativamente entre los aceleradores y los lanzadores.


3-DE QUÉ ESTÁ HECHO

El combustible y el carburante u oxidante que transportan algunos cohetes, lo utilizan para arrojar masa a gran velocidad. Los productos químicos que dan origen a la combustión que se produce en los cohetes, se denominan propelgol. En las referencias de este artículo y del jet pueden encontrarse detalles técnicos y específicos de diferentes cohetes.


4-CÓMO FUNCIONA

Entre los estudiantes de cursos introductorios de Física, a menudo hay confusión en relación a la "fuerza de empuje" de la ecuación de movimiento que describe la dinámica del cohete. Por lo tanto, la motivación de este artículo es explicar clara y detalladamente cuál es la aceleración de un cohete, a partir de la razón física por la que se impulsa un jet, pero ahora agregando el hecho de que su masa disminuye.

En esta sección se trata al cohete como un vehículo cuya masa está compuesta por la masa de la carga + estructura (cuya masa no cambia) y el combustible + carburante (cuya masa se va agotando, a medida que se arrojan los gases de la combustión hacia atrás, a gran velocidad).

Considérese entonces al cohete como un sistema con masa M(t) compuesta en cada instante t por la masa de combustible m(t) y por la masa MF de la carga y la estructura (i.e., la masa final del cohete sin combustible ni oxidante). También se supone que el cohete no gira (sino que solamente se traslada) y que el chorro de gases está perfectamente alineado con el cohete.

El cohete se mueve bajo la influencia de una fuerza neta total exterior FExt, responsable de la variación del impulso lineal total P(t) del sistema (con "t tendiendo a cero": t --> 0):

FExt = P/t

Como el motor del cohete en el lapso t arroja masa m hacia atrás a velocidad vRel, se acelera hacia adelante. Desde un sistema no acelerado donde se ve al cohete moverse con velocidad V (hacia la derecha, por ej.), la masa arrojada se ve moverse con velocidad v (hacia la izquierda). Entonces, vRel = v - V es la velocidad relativa de la masa m expulsada respecto del cohete, cuya intensidad en un movimiento unidimensional es vRel = v + V.

En este artículo se demuestra que si la aceleración del cohete es a, la Tercera Ley de Newton aplicada a este sistema, expresa que la fuerza total sobre el cohete es:

Ma = FExt + Empuje

y no solamente Ma = FExt como si el sistema tuviese masa M constante. Equivalente, lo que en este artículo se muestra es que la variación total del impulso lineal, es (con t --> 0)

(MV)/t = M V/t - M/t vRel

y no (MV)/t = M V/t + M/t V, como podría pensarse usando incorrectamente cálculo infinitesimal. Concretamente, se muestra que la aceleración del cohete es:

a = FExt/M - (r/M) vRel

donde la cantidad positiva r es la rapidez con la que la masa es arrojada por el motor del cohete (con t --> 0):

r = m/t = -M/t > 0

De esto se deduce que la aceleración a del cohete

1) es inversamente proporcional a la masa total M en ese instante,

2) crece con el tiempo (mientras haya combustión), a pesar de ser constante el empuje,

3) es positiva (a > 0) si el empuje es superior a las fuerzas exteriores. Esto impone una condición para el despegue de los cohetes en la superficie terrestre (que se ve más adelante).

4) Finalmente, si el cohete estuviese libre de fuerzas exteriores (en el espacio interestelar, sin roce con la atmósfera y lejos de fuerzas gravitacionales), su aceleración sería a = -(r/M)vRel, es decir, a es directamente proporcional al ritmo r y a la velocidad relativa vRel de la masa arrojada.

La observación 1) sugiere reducir la masa M todo lo posible, lo que en la práctica se hace arrojando la "chatarra": las carcazas que ya no se utilizan y los tanques de combustible vacíos con sus mecanismos! Este es el fundamento del cohete de varias etapas, cuyas ecuaciones se muestran en otro artículo.

Adicionalmente, 4) expresa lo que necesita el motor de un cohete: mayor producto r x vRel.


DEDUCCIÓN DE LA TERCERA LEY DE NEWTON DEL COHETE

El impulso P0 en el instante inicial t0 = 0, del sistema "chorro + cohete" (es decir, gases de combustión arrojados + carga útil, estructura, combustible y oxidante) es

P0 = MV

donde V es la velocidad del cohete respecto de un sistema de referencia inercial (no acelerado) desde el que se describe el movimiento. Al ser arrojada una masa m que se mueve a velocidad v respecto del sistema de referencia, la masa del cohete es M-m y su velocidad aumenta a V+V, es decir que el impulso lineal del sistema en el instante t = t0 + t, es

P(t) = PChorro + PCohete =

= m v + (M-m) (V+V) =

= m v + MV + MV - m V - m V =

= m (v - V) + P0 + M V - m V

El primer término vectorial

vRel = v - V

es la velocidad relativa de la masa m expulsada respecto del cohete (Su magnitud es vRel = v + V). Por otro lado, cuando t --> 0, el término mV es un infinitesimal de segundo orden ("0x0") que se desvanece frente a los demás. Entonces,

P = P(t) - P0 = m vRel + M V

La variación del impulso lineal, se debe a las fuerzas exteriores (con t --> 0):

FExt = P/t

y la aceleración del cohete es (con t --> 0)

a = V/t

De modo que considerando ("dividiendo por") el lapso t infinitesimal,

FExt = r vRel + M a

donde el ritmo de consumo de combustible es (con t --> 0)

r = - M/t = m/t

El término conocido como "fuerza de empuje del cohete" es el vector

T = (M/t) vRel = - r vRel

En una dimensión,

T = - (M/t) vRel = r vRel

con

vRel = v + V

La Tercera Ley de Newton para este sistema de masa variable se escribe entonces como

M a = FExt + T = FExt - r vRel

y la aceleración del cohete es:

a = FExt/M - (r/M) vRel


COHETE EN EL ESPACIO INTERESTELAR (donde FExt = 0 N)

Si no hay rozamiento con la atmósfera y no hay aceleración gravitacional, el sistema está libre de fuerzas exteriores. En ese caso, de la conservación del impulso lineal total se deduce

0 = r vRel + M a

y el empuje resulta igual a la fuerza total Ma, donde la aceleración es a = -(r/M) vRel.


CONDICIÓN PARA EL DESPEGUE (donde FExt = M(t) g, el peso del cohete)

La expresión de la aceleración a del cohete, muestra que para que sea a > 0 bajo la influencia de la aceleración gravitacional g al nivel de la superficie terrestre (g = 9.8 m/s2) y en el momento del despegue, debe cumplirse que el empuje supere al peso, es decir:

|r vRel| > M(t) g

Esta condición puede que no se cumpla en el instante inicial t0 = 0 s, y de hecho se observa que los grandes cohetes parecen no moverse en los primeros instantes posteriores a la ignición. Los cohetes realmente "despegan" de la superficie de La Tierra cuando empieza a cumplirse.

La "razón de empuje" R se define como el cociente entre la fuerza de empuje del cohete y su peso inicial, es decir:

R = T / (M0 g) = |r vRel| / (M0 g) = 1 + a0/g

permite distinguir a los cohetes aceleradores de los lanzadores.



REFERENCIAS

(1) Roederer J G 1981 Mecánica Elemental; Séptima Edición (Buenos Aires: EUDEBA)

(2) N.A.S.A. (Consultado en Junio 4, 2006) Dr. Robert H. Goddard: American Rocket Pioneer

(3) Wikipedia (Consultado en Junio 4, 2006) Robert H. Goddard

(4) Encyclopædia Britannica (Consultado en Junio 4, 2006) Goddard, Robert Hutchings (5 páginas)

(5) N.A.S.A. (Consultado en Junio 4, 2006) Rocket Propulsion

(6) Wikipedia (Consultado en Junio 4, 2006) Rocket

(7) Encyclopædia Britannica (Consultado en Junio 3, 2006) Rocket (8 páginas)



CÓMO HACER REFERENCIA A ESTE ARTÍCULO

Giordano J L 2007 Cómo funcionan las cosas: El cohete (Sistema de masa variable) (Santiago: http://www.profísica.cl) http://www.profisica.cl/comofuncionan/como.php?id=28 (Consulta: Mes Día, Año)





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