COMO FUNCIONA:
ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS (Ecuaciones de Maxwell)
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José Luis Giordano
Diciembre 17, 2009 (Última revisión: Julio 2, 2010)



LA RADIO

Se describe el aparato conocido como "radio", utilizado por el público general. El trabajo está enfocado en el receptor de 530 a 1710 kilohertz (Onda Media) en AM, pero incluye también Ondas Electromagnéticas, Onda Larga, Onda Media, Onda Corta, AM, FM y temas relacionados, como la Radio Galena, la reflexión total de las Ondas Cortas en la Ionosfera y las radios con "Dual Conversion System". No se trata de un trabajo para aprender a armar radios ni calcular antenas, sino que, como es habitual, se explican los principios físicos y su utilidad, enfatizando algunos comentarios históricos y detalles en los que se basa su funcionamiento.

Por claridad, usando el formato habitual (1-Qué es, 2-Para qué sirve, 3-De qué está hecho, 4-Cómo funciona, 5-Verdad o timo ...?, con Referencias y Apéndices), La Radio se ha dividido en las siguientes 6 partes:

Parte I: Ondas Electromagnéticas (Ecuaciones de Maxwell)
donde se comienza describiendo los elementos más importantes de la Teoría Electromagnética. Esta primera parte muestra las leyes del Electromagnetismo con operadores diferenciales vectoriales, como se estudia en las carreras universitarias. Sin embargo, el enfoque tiene muchos elementos y detalles que también pueden ser apreciados por personas que no sigan el formalismo matemático.
En 5-Misceláneas, se especula acerca de Cómo descubrió Maxwell que faltaba algo que nadie había medido? .... Finalmente, esta parte también incluye los Apéndices: "Bandas del espectro electromagnético" y "Algunas características de las ondas" donde se enfatiza la aplicación del Principio de Superposición a las ondas.

Parte II: Ondas de Radio
que describe las Ondas AM y FM usadas en Radiodifusión.
5-Misceláneas incluye una reflexión acerca de Quién inventó La Radio ? ... y finalmente el Apéndice "Algunas aplicaciones de las RFs y de las microondas".

Parte III: Antenas
donde se trata la radiación (emisión), propagación y la captación de las Ondas de Radio. Incluye cables de antena (pero no todos los tipos que existen, ni cómo se calculan).
Finalmente, en 5-Misceláneas se discute Cómo comenzó el estudio de las ondas electromagnéticas sin conocer las antenas? ... mostrando la importancia del trabajo de Marconi.

Parte IV: "Radio Galena" (Circuito Resonante; Detector de AM)
que explica la sintonización y la demodulación en la radio de AM más "cruda" que pueda existir. Se incluye una especie de "línea de tiempo" de algunas invenciones y descubrimientos importantes para el desarrollo de las comunicaciones con Ondas de Radio, enfatizando "El nacimiento de la Electrónica" en nuestra Civilización.

Parte V: Receptor "Superheterodino"
que describe el sistema receptor más ingenioso que pueda imaginarse, que usan las radio en la actualidad, y que se extendió a casi todos los sistemas de comunicaciones (hasta radiotelescopios). También se incluye material sobre la Electrónica con "válvulas" termoiónicas y algunas consecuencias curiosas de la aparición del transistor.

Parte VI: Onda Corta (Radio con Conversión Doble)
que trata de la radiodifusión internacional, la reflexión total de las Ondas Cortas en la Ionosfera, y de las radios con Doble Conversión Superheterodina.



LA RADIO, PARTE I:
ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS (Ecuaciones de Maxwell)


1-QUÉ ES

Las ondas electromagnéticas son un tipo de radiación que se propaga en forma de ondas, denominada "electromagnética" ya que se predijeron por primera vez dentro de la Teoría Electromagnética, en 1865. Los primeros experimentos (1888) generando y detectando ondas electromagnéticas (no visibles) también fueron basados en fenómenos electromagnéticos (En los experimentos de Óptica con luz visible conocidos desde mucho tiempo antes, se desconocía la naturaleza electromagnética de la luz).

Según su frecuencia f y longitud de onda λ = c/f (siendo c la velocidad de propagación en el vacío, unos 300 mil km/s), las ondas electromagnéticas pueden ser visibles (VIS) o no. Dentro de las invisibles, las más reconocidas en los fenómenos cotidianos son las microondas, las infrarrojas (IR) y las ultravioletas (UV). Pero en Medicina y en Ciencia en general, son también comunes radiaciones de mayor frecuencia y energía como los rayos X y los rayos gamma.

Según la frecuencia de oscilación de la onda, el Espectro Electromagnético se puede dividir y ordenar (con frecuencia creciente) en los siguientes 9 grupos:

1-Oscilaciones eléctricas de baja frecuencia
2-Radiofrecuencia (RF) (1)
3-Microondas
4-Infrarojo (IR)
5-Visible (VIS)
6-Ultravioleta (UV)
7-Rayos X
8-Rayos Gamma
9-Rayos Cósmicos

(1) Notas:

(a) En general se denomina "Radiofrecuencia" a todas las ondas electromagnéticas cuya frecuencia f está en el rango entre 3 kHz y 3 GHz, con longitud de onda λ entre 100 km y 10 cm.

(b) Como el grupo 1 (Oscilaciones de baja frecuencia) y el grupo 3 (Microondas) se utilizan también en comunicaciones, hay fuentes en la literatura que denominan "Radiofrecuencia" no solo al segundo grupo, sino a los 3 primeros, desde 3 Hz hasta 300 GHz (100 Mm - 1 mm), y otras fuentes llaman RF al segundo y al tercero, es decir desde 3 kHz hasta 300 GHz (100 km - 1 mm).

(c) Las frecuencias de las ondas acústicas audibles son muchísimo menores (aproximadamente de 20 Hz a 20 kHz).

(d) En Radiodifusión (Radio) se utilizan algunas bandas dentro de los subgrupos LW, MW, SW y VHF del grupo de las RF. En televisión (TV) se utilizan bandas de frecuencias dentro de VHF para los "canales bajos" (canales 2 al 13, entre 50 y 80 MHz), y dentro de UHF para los "canales altos" (entre 470 y 862 MHz).


Fig. 1: Principales bandas de Radiodifusión (en escala logarítmica).

(e) La última parte del subgrupo de las Frecuencias Ultra Altas (UHF), de 1 a 3 GHz (de 30 a 10 cm), se superpone con el comienzo del grupo de "Microondas" (1-300GHz).


Fig. 2: Bandas de RF y Microondas (en escala logarítmica).



2-PARA QUÉ SIRVE

Las ondas electromagnéticas no solo se usan en nuestra civilización tecnológica, sino que están en la esencia misma de la Naturaleza. Todo lo que conocemos existe con ondas electromagnéticas. La tibia luz que entra inocentemente en nuestra habitación durante una mañana fría de invierno, llena el ambiente de una red compleja de campos electromagnéticos oscilando rápidamente por todos lados a nuestro alrededor.

En primer lugar, los fenómenos electromagnéticos siempre han intervenido en la formación y evolución del Universo (el que tendría unos 13700 millones de años, según la Teoría del "Big Bang"), y en particular de la Tierra (que tendría 4540 millones de años).

En segundo lugar, por medio de las ondas electromagnéticas nos llega la energía luminosa del Sol (principalmente IR, VIS y UV), que siempre ha influido en la creación y evolución de la Vida en la Tierra (es decir, desde hace más de 3500 millones de años).

Tercero, en la Tierra puede existir Astronomía y Radioastronomía gracias a la llegada de ondas electromagnéticas provenientes de los eventos y objetos del Cosmos al que pertenecemos.
En efecto, a todas las culturas que han existido en la Tierra, les ha llegado "información" del Universo a través de ondas en diferentes frecuencias del espectro electromagnético. Algunas de las señales que nos llegan, son emitidas dentro de la atmósfera terrestre (rayos, auroras boreales, "lluvias" de meteoros, "chaparrones" producidos por rayos cósmicos que penetran atmósfera, montañas y océanos, etc.). Otras imágenes llegan a la Tierra desde el Espacio exterior (fases lunares, eclipces, luz solar, ciclos y manchas solares, cometas, asteroides, impactos de asteroides en la Luna y de cometas en el Sol, la Vía Láctea, otros sistemas solares con lunas, planetas, estrellas y galaxias, explosiones de supernovas, radiación de fondo, etc.). Se puede decir que en nuestra cultura existe Astronomía (con "luz" VIS) de forma científica a partir de Nicolaus Copernicus (1473-1543), la invención del telescopio en 1608 en Holanda, la mejora y utilización del telescopio desde 1609 por Galileo Galilei (1564-1642), y desde la Teoría de Gravitación Universal de Isaac Newton (1643-1727). En cuanto a la Radioastronomía (con ondas electromagnéticas no visibles), el estudio de las ondas no visibles que vienen del Espacio es mucho más reciente (Agosto de 1931). El físico e ingeniero estadounidense Karl Guthe Jansky (1905-1950) de los Bell Telephone Laboratories estaba trabajando en eliminar el ruido para mejorar las comunicaciones. Después de un trabajo sistemático de más de un año, Jansky se convenció que había un ruido que era radiación electromagnética extraterrestre. Primero encontró ondas que venían del Sol y luego, otras que venían desde el centro de la Vía Láctea.

Por otra parte, las ondas electromagnéticas sirven para las comunicaciones inalámbricas. El hombre comenzó a usar ondas de radio para comunicarse y enviar información desde hace unos 100 años (1904), iniciando un cambio enorme y radical en nuestra Civilización.

Pero los cambios no solo fueron en la Tierra, donde antes existían otros medios de comunicación, sino también fuera de ella, en el Espacio Exterior (desde hace unos 50 años) donde no había antecedentes de comunicación en nuestra cultura. Como las ondas electromagnéticas se propagan en el vacío, en las últimas décadas se han puesto satélites (militares, meteorológicos, de comunicaciones, televisión y radiodifusión), sondas interplanetarias, telescopios y estaciones espaciales que nos envían información medida en órbita, o en La Luna, o desde sitios muy remotos del Sistema Solar o fuera de él. En la actualidad se ha podido ver "hacia el pasado" hasta una distancia de unos 46500 millones de años-luz (cada año-luz equivale a unos 107 millones de km).

Las ondas electromagnéticas se utilizan en una infinidad de aplicaciones más, como controles remotos con IR, teléfonos, intercomunicadores y "walkie-talkies", micrófonos e instrumentos musicales inalámbricos con FM en teatro, cines y conjuntos musicales; sistemas de computadores e impresoras interconectados por "wi-fi", instrumentos quirúrgicos con laser; fraguado de composites odontológicos; ensayos y ciencia de materiales; sistemas de vigilancia inalámbricos; líneas ópticas en sistemas de alarma; hornos de microondas; hornos y cocinas de inducción magnética; transporte de energía eléctrica sin cables; etc. etc. etc. !!!


3-DE QUÉ ESTÁ HECHO

La existencia de las ondas electromagnéticas fue predicha en la Teoría Electromagnética presentada en 1865 por el físico-matemático escocés James Clerk Maxwell (1831-1879), y confirmada por primera vez en 1888 por el físico alemán Heinrich Rudolf Hertz (1857-1894), quien fue el primero en generarlas, detectarlas y estudiarlas. Las ondas electromagnéticas están compuestas por energía en forma de oscilaciones de campo eléctrico y campo magnético que se propagan como lo predicen las Ecuaciones de Maxwell.

La siguiente y última contribución fundamental a la Teoría Electromagnética fue realizada en 1905 por el físico teórico alemán Albert Einstein (1879-1955). Cuando se describen los fenómenos electromagnéticos entre sistemas inerciales en movimiento relativo uno respecto del otro, las Ecuaciones de Maxwell son invariantes respecto de las Transformaciones de Lorentz, como lo muestra la Teoría Especial de la Relatividad.

Lo que se conoce como "Ecuaciones de Maxwell" son 4 relaciones vectoriales (i.e., 12 ecuaciones escalares) en un espacio clásico (x,y,z,t) que determinan el Campo Electromagnético a partir de la distribución de las fuentes (aunque no conocemos las leyes que gobiernan ni a las fuentes de cargas y ni a las fuentes de corrientes).

La teoría se presenta con cantidades escalares y vectoriales, de fuentes y de campos, eléctricos y magnéticos.

Cantidades Eléctricas: Hay 1 fuente escalar eléctrica ρ y 3 campos vectoriales eléctricos: E, P y D. Las fuentes de campos eléctricos, se representan con el escalar densidad (volumétrica) de carga eléctrica libre ρ en cada punto del espacio. Esta densidad puede ser positiva o negativa, lo que determina el sentido del vector campo eléctrico E que emana o llega a ese punto.

Un material dieléctrico tiene cargas eléctricas localizadas dentro de sus moléculas, cargas ligadas cuya densidad ρPol puede cambiar localmente, pero no pueden moverse libremente a lo largo del material. Esta distribución determina el vector polarización eléctrica P en cada punto del material.

Cantidades Magnéticas: Por otro lado, también hay 1 fuente vectorial magnética J y 3 campos vectoriales magnéticos: B, M y H. Las fuentes de campos magnéticos, se representan con el vector densidad (superficial) de corriente eléctrica libre J en cada punto del espacio. Su dirección es perpendicular al vector campo magnético B y su sentido determina el sentido de rotación de B alrededor de la corriente en ese punto del espacio.

Un material magnético tiene corrientes localizadas "de magnetización" o de Ampère, corrientes microscópicas cuyo vector de densidad de corriente JM puede cambiar localmente, pero estas corrientes no pueden moverse libremente en el material. La distribución de corrientes internas determina el vector "momento magnético por unidad de volumen" o magnetización M en cada punto del material.

Cuando se expresa la relación entre los campos y las fuentes en un medio material, junto con ρ y J no solo aparecen E y B, sino que también están presentes los vectores P y M del material. Es fácil ver que en vez de usar P y M, es más cómodo trabajar y expresar las ecuaciones usando dos vectores "auxiliares": el vector desplazamiento eléctrico y el vector magnético "H", D y H respectivamente:

Dε0E + P

HB/μ0 - M


Fig. 3: Vector auxiliar Desplazamiento Eléctrico, Constante Elécrica y vector Polarización Eléctrica del material.



Fig. 4: Vector Magnético "H", Constante Magnética y vector Magnetización del material.


A los vectores magnéticos B y H generalmente se los llama con los confusos nombres de "inducción magnética" e "intensidad magnética" respectivamente. También se les denomina "densidad de flujo magnético" e "intensidad de campo magnético" respectivamente. Es mejor denominarlos campo magnético B (definido sin ambigüedad por la fuerza de Lorentz) y vector magnético H (definido sin ambigüedad mediante B y M).

En el "Sistema de Unidades M.K.S. Racionalizado" o Sistema Internacional de Unidades (S.I.), la relación entre D y E y la relación entre H y B incluyen, respectivamente las constantes:

ε0 ≡ (μ0c2)-1 = 8.854 187 817... × 10-12 F/m (constante eléctrica universal)

μ0 ≡ 4π × 10-7 Tm/A (constante magnética universal)

donde c es la constante universal:

c ≡ 2.997 924 58 × 108 m/s (velocidad de la luz en el vacío)

Es común encontrar en la literatura que a ε0 y μ0 se las denomine "permitividad eléctrica del vacío" y "permeabilidad magnética del vacío" respectivamente. Sin embargo, estos nombres son desaconsejados por las recomendaciones internacionales, ya que no tiene sentido decir que el vacío (que no es un medio material) tenga permitividad o permeabilidad.

En un medio en el que tanto desde el punto de vista eléctrico como del magnético, el material sea lineal, isótropo y homogéneo (al menos en cierto rango de temperaturas, de amplitudes y de frecuencia), la polarización eléctrica P y la magnetización M son proporcionales a los campos eléctrico E y H magnético aplicados:

PχeE

MχmH

y entonces, definiendo la permitividad eléctrica ε y la permeabilidad magnética μ del material, mediante:

εε0 + χe

μμ0 (1 + χm)

se tiene que los vectores auxiliares D y H resultan proporcionales a los campos eléctrico E y magnético B, respectivamente:

D = εE

H = B/μ



Fig. 5: Ecuaciones constitutivas de la polarización y de la magnetización, para un medio lineal, isótropo y homogéneo.


El primer principio básico del electromagnetismo:

Dρ ("Ley de Coulomb-Gauβ de la Electricidad")

muestra la relación que existe entre el campo D y la fuente ρ: en puntos del espacio donde haya densidad de carga eléctrica, habrá divergencia de D (Al operador vectorial • se le denomina divergencia). De ella se deriva el Teorema de Gauβ y la Ley de Coulomb que se estudian en Electrostática (pero es un principio válido en general).


Fig. 6: Ley de Coulomb-Gauβ y Teorema de Gauβ generalizado (en medios materiales).


La segunda Ley de Maxwell

B ≡ 0 ("Ley de Gauβ del Magnetismo")

muestra la relación que cumple siempre el campo magnético B. El hecho de que este campo tenga divergencia nula, significa que las líneas de campo magnético son siempre cerradas (se dice que es un campo "solenoidal", por las líneas de campo cerradas que genera un solenoide). Esta característica geométrica tiene un significado físico muy importante: los "polos" magnéticos norte (N) y sur (S) nunca se pueden separar (i.e., no existen los monopolos magnéticos). Esto es opuesto a lo que sucede con cargas eléctricas, donde sí pueden separarse cargas positivas de negativas, como lo expresa matemáticamente la divergencia de D diferente de cero.


Fig. 7: Ley de Gauβ del Magnetismo.


El tercer principio básico del electromagnetismo:

×E ≡ - ∂B/∂t ("Ley de inducción electromagnética de Faraday-Lenz")

muestra la relación que existe entre la la variación del campo magnético B y el campo eléctrico E. Al operador matemático × se le denomina rotacional. Esta Ley expresa que si hay un campo magnético B variando en una dirección, habrá un campo eléctrico E girando alrededor de la dirección de variación de B.


Fig. 8: Ley de inducción electromagnética de Faraday-Lenz.


Aunque todas las leyes naturales son un poco mágicas, personalmente encuentro a la Ley de inducción electromagnética una de las más hermosas leyes de la Naturaleza.

Las aplicaciones de este principio son tan importantes como fantásticas. Por ejemplo, se puede considerar un transformador, donde un campo magnético variable induce un voltaje en una bobina de alambre de cobre; o también una rueda maciza metálica que es frenada al girar dentro de un campo magnético; o un imán frenado magnéticamente al caer por su peso, dentro de un tubo de aluminio. Mediante esta Ley se puede entender, por ejemplo, por qué la tremenda tormenta solar de 1859 produjo en Estados Unidos de América, descargas eléctricas contra las personas próximas a líneas telegráficas, llegando incluso hasta incendiar algunas de estas líneas.

El cuarto y último principio básico del electromagnetismo es:

×HJ + ∂D/∂t ("Ley de Ampère-Maxwell")



Fig. 9: Ley de Ampère.


La expresión diferencial

×HJ ("Ley de Ampère")

conocida como "Ley de Ampère", muestra la relación que existe entre el campo H y la fuente J cuando las corrientes y los campos no cambian el tiempo, pero falla cuando los fenómenos no son estacionarios. La contribución de Maxwell se resume en haber agregado a J, el sumando ∂D/∂t correspondiente a la corriente de desplazamiento en los fenómenos no estacionarios, algo que nadie había medido y que no resultaba intuitivo. La falta de ese término deja fuera los casos dinámicos, muchos casos tan importantes como por ejemplo las Ondas Electromagnéticas !


Fig. 10: Corrección a la Ley de Ampère, introducida por Maxwell en 1861.


Agregar la densidad de corriente de desplazamiento a la Ley de Ampère fue la mayor contribución de Maxwell al Electromagnetismo. Lo publicó primero en "On Physical Lines of Force" en 1861, y finalmente publicó toda la Teoría Electromagnética en "A dynamical theory of the electromagnetic field", en 1865. En las ecuaciones originales que ahora escribiríamos en 8 ecuaciones vectoriales, incluyó 2 ecuaciones constitutivas (de dieléctricos lineales y de conductores), y además, incluyó la "Ecuación de Continuidad" de la carga eléctrica. Quitando esas 3, quedan 5, que se reducen a solo 4 relaciones que son fundamentales, cuando la Ley de Ampère y la generalización de la densidad de corriente total Jtot se escriben en una sola ecuación.


Fig. 11: Ecuaciones de Maxwell correspondientes a "A dynamical theory of the electromagnetic field" (1865).


Finalmente, Maxwell presentó la Teoría Electromagnética con solo 4 ecuaciones independientes y suficientes, en su libro "A Treatise on Electricity and Magnetism" (1873), reconociendo que eran 4 los Principios Fundamentales del Electromagnetismo.

Hay que destacar que en vez de expresar la Ley de Gauβ del Magnetismo

B ≡ 0

y la Ley de inducción electromagnética de Faraday-Lenz

×E ≡ - ∂B/∂t

en su lugar Maxwell utilizó dos expresiones que relacionan a los campos electromagnéticos con el potencial vectorial magnético A y con el potencial escalar eléctrico V. En efecto, en vez de expresar que el campo magnético B no tiene divergencia, expresó que B es el rotacional del potencial vector:

B×A

y en vez de expresar el rotacional del campo eléctrico E, expresó al mismo campo en función de los potenciales (utilizando el operador gradiente ):

E ≡ -V - ∂A/∂t


Fig. 12: Ecuaciones de Maxwell correspondientes a "A Treatise on Electricity and Magnetism" (1873).


Posteriormente, el físico, matemático e ingeniero eléctrico inglés Oliver Heaviside (1850-1925) reemplazó en 1884 las dos ecuaciones que tienen los potenciales por la Ley de Gauβ del magnetismo y la Ley de Faraday-Lenz, y mantuvo las ecuaciones con las fuentes, la Ley de Coulomb-Gauβ y la Ley de Ampère-Maxwell.
La motivación de este reemplazo es que el potencial escalar eléctrico V y el potencial vectorial magnético A se pueden determinar a partir de las fuentes. Por lo tanto, no es necesario que aparezcan estos potenciales en el conjunto básico de ecuaciones.


Fig. 13: Ecuaciones de Maxwell para cuerpos en reposo, en el S.I. (Heaviside, 1884).

La forma de Heaviside es la que se adoptó finalmente, porque a los físicos nos gustan más las formulaciones que tengan menos elementos, que sean más fundamentales. Pero en la práctica, trabajar en Electromagnetismo con los potenciales V y A es muy importante, ya que muchas veces con las fuentes de carga y las fuentes de corriente, se encuentran primero esos potenciales, y luego es más fácil encontrar los campos.

En el vacío o en un medio material muy tenue (como el aire seco, que en general es un medio no polar, no magnético, libre de cargas y corrientes), los vectores auxiliares se reducen a D = ε0E, y H = B/μ0, y las Ecuaciones de Maxwell se simplifican a una forma particular.


Fig. 14: Ecuaciones de Maxwell para cuerpos en reposo en el vacío.


Es importantísimo destacar que al completar correctamente la Ley de Ampère, sumando a J el término de la densidad de corriente de desplazamiento (la derivada parcial temporal de D), Maxwell creó un sistema de ecuaciones que le dieron a los campos eléctricos y magnéticos una especial y hermosa simetría. En efecto, observando estas ecuaciones, se ve que las variaciones en el campo magnético B, están asociadas a un campo eléctrico E (Ley de Faraday-Lenz); Y al revés: las variaciones en el campo eléctrico E, están asociadas a un campo magnético B (Ley debida solo al genial trabajo de Maxwell, donde reconoció que en los fenómenos no estacionarios, los campos eléctrico y magnético deben estar acoplados).



4-CÓMO FUNCIONA

El "funcionamiento" de las ondas electromagnéticas se ha separado en 2 partes: primero "(a) Características principales", donde se resumen las propiedades más destacables. Luego, para la personas más interesadas en las deducciones y detalles matemáticos, se agrega la segunda parte: "(b) Ecuación de Onda", donde se muestran los principales pasos matemáticos en la resolución de la Ecuación de Onda y en el análisis de la propagación de las Ondas Electromagnéticas.


CÓMO FUNCIONA: (a) Características principales

Se puede demostrar con análisis vectorial de varias variables, que gracias a esa notable simetría introducida en el trabajo teórico de Maxwell, en el que convirtió la Ley de Ampère en:

×HJ + ∂D/∂t

las 4 Ecuaciones Fundamentales predicen que los potenciales y los campos eléctricos y magnéticos verifican la Ecuación de Onda. En efecto, para el espacio libre de fuentes en un medio lineal isótropo y homogéneo tal que BμH y DεE, las 4 ecuaciones fundamentales quedan acopladas simétricamente en la forma:

E = 0

H = 0

×E = -μH/∂t

×H = εE/∂t

y de ellas se obtienen las correspondientes ecuaciones de onda:

2E - με2E/∂t2 = 0

2H - με2H/∂t2 = 0

Eso significa que la energía electromagnética se propagará en una forma específica, descrita por las 4 ecuaciones fundamentales.



Fig. 15: Solución de la Ecuación de Onda para un Campo Eléctrico monocromático.


Dentro de las principales características de las Ondas Electromagnéticas, se tiene que:

(1) Las ondas de radiofrecuencias (3kHz-1GHz) y las ondas de luz del espectro visible (389-769 THz), son dos tipos de ondas electromagnéticas, que se propagan en el vacío y en medios materiales (con menor o mayor absorción, según la frecuencia y las características del medio material).

(2) La velocidad c de propagación de la luz en el vacío, es la máxima velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas. El valor adoptado para esta constante es:

c = (ε0μ0)-1/2 = 299 792 458 m/s

(En la Conferencia General de Pesos y Medidas de 1983 se definió al metro como la longitud de la trayectoria viajada por la luz en absoluto vacío durante un intervalo de tiempo de 1/299792458 de segundo, basándose en la constancia de la rapidez de la luz para todos los observadores).

(3) La propagación de las ondas electromagnéticas en el aire seco es casi como en el vacío (debido a que el aire es un medio casi no polar y no magnético). Entonces, en muchos fenómenos es lo mismo considerar aire o vacío. Sin embargo hay excepciones. Por ejemplo, si en el aire hay humedad, las moléculas de agua absorben ciertas radiaciones de microondas (lo cual es un problema, por ejemplo, para la Radioastronomía).

(4) En un medio ópticamente más denso que el aire (como el agua o un vidrio), la velocidad de propagación vn para una dada longitud de onda λ dentro de ese medio, es menor según:

vn = (εμ)-1/2 = c/n

donde el índice de refracción del material dieléctrico (relativo al aire y para una dada λ) es

n = c/vn = [εμ/(ε0μ0)]1/2 > 1

(5) Las ondas electromagnéticas se propagan con una dirección y sentido dadas por el "vector de onda" k, con vibraciones transversales del vector campo eléctrico E y del vector magnético H.
Los vectores k, E y H son ortogonales entre sí, y forman una "terna directa" (o positiva), de forma tal que el "vector de Poynting" S = E x H (de densidad de potencia por unidad de área, en W/m2), es paralelo a la dirección de propagación, y "apunta" al sentido de propagación (i.e., S tiene la misma dirección y sentido que k).


Fig. 16: Onda Electromagnética plana propagándose en el eje Z.


(6) El ritmo al cual la energía electromagnética UEM es transferida a un dado volumen V a través de la superficie S(V) que lo encierra, es igual a la suma del ritmo de crecimiento de UEM en V, más el ritmo al cual el campo electromagnético realiza trabajo sobre las cargas en movimiento en V. El último término corresponde a la transferencia irreversible de energía eléctrica a energía térmica, debido a la conductividad finita del material. En la propagación de ondas de radio, este término es despreciable.


Fig. 17: Energía electromagnética UEM, definición del vector de Poynting S y expresión matemática del Teorema de Poynting.

Este importante resultado se denomina "Teorema de Poynting", y expresa la Conservación de la Energía Electromagnética. En pocas palabras, lo que afirma es que el flujo del vector S a través de S(V) representa la variación reversible y la pérdida irreversible de UEM en V. Fue deducido a partir de las Ecuaciones de Maxwell, por el físico inglés John Henry Poynting (1852-1914) en 1884.

Esto es válido en cualquier circuito y proceso electromagnético en general. Para el caso de un medio como el aire donde se propagan las ondas electromagnéticas entre las antenas del transmisor y la radio, el flujo de S a través de una superficie cerrada que rodee la antena, es la potencia emitida y disipada por la misma.

(7) Aplicando las ecuaciones de Maxwell a una onda que incide sobre una superficie de separación entre un medio dieléctrico y otro (o un metal), se obtienen todos los resultados ya conocidos de la Óptica, deducidos empíricamente mucho tiempo antes, como las leyes de reflexión y de refracción de Snell, reflexión interna total (ángulo crítico), polarización por reflexión (ángulo de Brewster) y Ley de Malus.

(8) Cuando una onda electromagnética de frecuencia f se acerca, penetra y se propaga en un material metálico (conductor) de conductividad eléctrica σ, en la zona del material alcanzada por la onda se generan corrientes "parásitas" ("Eddy currents") que apantallan al campo electromagnético que las produjo, produciendo una atenuación de la forma e -z/δskin, donde z es la profundidad desde la superficie del material por donde llega la onda, y δskin es una longitud característica denominada "profundidad de penetración" dada por:

δskin ≈ (πfμ0σ)-1/2

(9) Las Ondas Electromagnéticas se propagan en el vacío sin necesidad de ningún "ether", a una velocidad c que es independiente de la velocidad de la fuente, y es la misma para todos los sistemas inerciales en movimiento relativo. Esto lo estableció el entonces desconocido Albert Einstein en una de las 4 asombrosas publicaciones de 1905. La publicación titulada "Sobre la Electrodinámica de los Cuerpos en Movimiento" (conocida como "Teoría Especial de la Relatividad"), dejó atónitos a los pocos científicos que alcanzaron a darse cuenta de algunas de las consecuencias de ese trabajo.
La teoría de Einstein aumentó considerablemente el significado y trascendencia de las Ecuaciones de Maxwell y del Electromagnetismo mismo. Cuando la materia, cargada o no, está animada de movimiento con respecto a un observador, algunas ecuaciones tienen que sufrir modificaciones. Hertz fue el primero en estudiar este problema, en el cual las fórmulas clásicas del Electromagnetismo cambian de un sistema inercial a otro, en movimiento relativo. Einstein postuló la hipótesis más sencilla: la constancia de la velocidad de la luz, para todo observador, independientemente de su movimiento o del movimiento de la fuente. Pero para postular eso tuvo que tener el coraje de concluir que es necesario abandonar la hipótesis del tiempo universal y absoluto. Usó las transformaciones denominadas "Transformaciones de Lorentz" para pasar de un sistema a otro, y mostró genial y sencillamente que en un espacio tetradimensional (x,y,z,-jct) las Ecuaciones de Maxwell conservan su forma, es decir, son invariantes bajo la Transformación de Lorentz.


CÓMO FUNCIONA: (b) Ecuación de Onda

Para estudiar matemáticamente la ecuación de onda con campos electromagnéticos, en primer lugar se plantean las expresiones que relacionan al pontencial escalar eléctrico V y al potencial vector magnético A, en un medio lineal, isótropo y homogéneo (con permitividad eléctrica ε y permeabilidad magnética μ) que además sea no conductor, es decir que su conductividad eléctrica es prácticamente nula (σ ≡ 0 S/m para un aislante perfecto), y entonces no posee densidad superficial de corriente libre:

J = σE = 0 S/m (no conductor)

Usando las ecuaciones de Maxwell se llega a una expresión donde aparecen dos sumandos que relacionan a los potenciales. Si se supone que esos dos sumandos son opuestos

A + μεV/∂t0 ("Gauge de Lorentz")

resultan las ecuaciones de onda no-homogéneas, es decir, que V y A verifican las ecuaciones no homogéneas de onda, escalar y vectorial respectivamente.


Fig. 18: Relaciones entre los potenciales V y A, y entre los potenciales y los campos eléctrico E y magnético B.


Al resolver las ecuaciones de onda no homogéneas para una distancia r muy lejana de la fuente, se obtienen los potenciales V(r,t) y A(r,t). Se los denomina "potenciales retardados" pues en la solución obtenida se vé que están calculados en un instante t posterior al instante

t* = t - r/vp

en el que se evalúan las fuentes ρ(r,t*) y J(r,t*) que generan esos potenciales. El retardo r/vp es el correspondiente al tiempo necesario para que la onda recorra la distancia r a la velocidad finita de propagación vp en ese medio.


Fig. 19: Solución de la Ecuación de Ondas no homogénea: "potenciales retardados"


En el caso de ondas electromagnéticas con dependencia armónica (es decir ondas monocromáticas o de una sola frecuencia f), es conveniente expresar las ecuaciones y resolverlas mediante el uso de fasores escalares en el Campo Complejo C (donde la unidad imaginaria j verifica j2 = -1), y fasores vectoriales en C3.


Fig. 20: Fasores para ondas con dependencia armónica.


Los fasores no son funciones del tiempo t, sino solo de r. En las expresiones con fasores, la frecuencia angular ω y la frecuencia f de la onda se relacionan mediante ω = 2πf. Utilizando fasores, se producen las transformaciones

F(r,t)/∂tjωF(r)

2F(r,t)/∂t2 → -ω2F(r)

y entonces, en vez de tener derivadas temporales ∂/∂t y ∂2/∂t2 de funciones F(r,t), se tienen expresiones algebraicas con números complejos y con funciones F(r) complejas.
El "Método de fasores" simplifica las ecuaciones a resolver, pero hay que "pagar el precio" de trabajar cada componente con Números Complejos (en vez de Números Reales).

Cuando se replantean las Ecuaciones de Maxwell usando fasores, resultan las ecuaciones de onda no homogéneas, denominadas "Ecuación de Helmholtz". Al resolverlas se obtiene la misma solución anterior, pero expresada con fasores, donde el retraso r/vp se ve como un desfase kr, siendo el número de onda:

k = ω(με)1/2 = ω/vp = 2πf/vp = 2π/λ


Fig. 21: Ecuaciones de Maxwell, Ecuaciones de Onda y Potenciales retardados para el caso de dependencia armónica con fuentes en un medio lineal, isótropo, homogéneo, no conductor y con fuentes (como sucede cerca de las antenas).

El caso de una onda en un medio sin fuentes, conduce a un sistema de ecuaciones del cual también se obtienen ecuaciones de ondas, pero homogéneas, es decir, del tipo:

2E(r,t) - vp-22E(r,t)/∂t2 = 0 (donde vp-2με)

Análogamente, usando fasores E(r):

2E(r) + k2E(r) = 0 (donde k2 ≡ (ω/vp)2 )

que corresponde a resolver 3 ecuaciones escalares de Helmholtz, una para cada componente Ex, Ey y Ez. Una vez determinado uno de los campos, con las demás relaciones se van calculando los demás campos.


Fig. 22: Ecuaciones de Maxwell para los campos y para los fasores, en un medio no conductor, lineal, isótropo y homegéneo, y libre de fuentes (como sucede en vacío o en el aire donde se propagan las ondas).


Consideremos una solución particular de las Ecuaciones de Maxwell, donde el campo eléctrico E tiene la misma magnitud, dirección, sentido y fase en cada plano infinito perpendicular a la dirección de propagación, y lo mismo para el campo H magnético.
Este es un caso importante denominado onda plana uniforme, ya que las características de las ondas planas uniformes son muy simples, y su estudio es fundamentalmente importante tanto desde el punto de vista práctico como teórico.

Es un concepto ideal, ya que para crear una onda plana uniforme se requeriría una fuente de extensión infinita. Sin embargo, aunque en rigor no exista, si la onda se observa desde muy lejos de la fuente, el frente de onda (la superficie de fase constante) será casi esférico, de forma que una pequeña porción de su superficie, será prácticamente plana.

Aquí consideraremos una onda plana uniforme que se propaga en la dirección Z, por lo tanto todas las ∂2/∂x2 y ∂2/∂y2 son nulas.

Si se resuelve la ecuación de Helmholtz

d2Ex(r)/dz2 + k2Ex(r) = 0

para la componente Ex(r) del fasor de una onda de campo eléctrico que se propaga en Z, se obtiene una solución con dos "ondas viajeras", cada una propagándose en cada uno de los dos sentidos del eje Z.


Fig. 23: Solución de la Ecuación de Onda para un el Campo Eléctrico de una sola frecuencia, para una onda plana que se propaga en la dirección Z. El campo se escribe como la parte real de un fasor y del término exponencial temporal complejo.


Para una onda viajera que se propaga en el sentido positivo de Z, se tiene que para un punto específico de la onda (con una fase particular de la onda), será

ωt - kzφ0 (fase constante)

Y como la magnitud de la velocidad vp de un frente de fase constante (denominada "velocidad de fase" de la onda que avanza en z) es:

vp ≡ dz/dt

resulta

vp = ω/k

Entonces, usando kω(με)1/2, se ve que la velocidad de fase de la onda es la velocidad de la luz en el medio dieléctrico:

vp = (με)-1/2

Como también es vp = f λ, se tiene

ω/k = f λ

y con ω ≡ 2πf, la relación entre el número de onda k y la longitud de onda λ es

k = 2π/λ

Después, cuando se calculan las componentes del campo H magnético, se encuentra un parámetro que relaciona las componentes de ambos campos. Este parámetro es denominado "impedancia intrínseca del medio", y es utilizado en las líneas de transmisión.


Fig. 24: Campo H asociado al campo de la figura anterior, e impedancia intrínseca de un medio lineal isótropo y homogéneo.


Es muy interesante e importante considerar el caso de un medio con pérdidas, como es el caso de los conductores reales, utilizados en cables y estructuras de antenas (en las líneas de transmisión en general, guías de ondas y cavidades resonantes), donde la conductividad eléctrica es finita: σ > 0 S/m. Nuevamente se plantean las Ecuaciones de Maxwell con dependencia armónica (usando fasores), pero ahora incluyendo la ecuación constitutiva de un conductor:

J = σE0 (conductor)

Esta relación expresa que cuando en el material exista un campo eléctrico E, se producirá una densidad de corriente eléctrica J, que en el caso de los conductores, se debe a los electrones libres en el material.

Entonces la Ley de Ampère-Maxwell que antes se aplicó a un medio lineal no conductor

×H(r,t) = εE(r,t)/∂t

ahora, al aplicarla a un material lineal conductor (con pérdidas por disipación Joule) resultará:

×H(r,t) = σE(r,t) + εE(r,t)/∂t

es decir, aparece un sumando más. Usando fasores para el caso de un campo monocromático, en vez de tener

×H(r) = jωεE(r)

en un aislante, ahora, en el caso de un medio conductor se tiene:

×H(r) = σE(r) + jωεE(r) = jω(ε - jσ/ω)E(r) ≡ jωεcE(r)

Se ve que equivale a expresar la misma ley en forma análoga, pero con un parámetro que absorba los dos términos. Este parámetro es el Número Complejo

εcε - jσ/ω (Conductor)

denominado permitividad eléctrica compleja. Esto muestra que las pérdidas se manifiestan en la parte imaginaria de εc. En el caso de un conductor, las pérdidas se deben a la conductividad eléctrica σ finita, pero en general, en cualquier otro medio en el cual el comportamiento de una onda monocromática (ω) conduzca a una permitividad compleja:

εcε' - jε"

la contribución total de todas las pérdidas se representa en una conductividad eléctrica efectiva dada por:

σeffωε"

y se caracteriza mediante la tangente del ángulo de pérdidas δc:

tg δcε"/ε'

Para el caso de un conductor ε" = σ/ω y ε' = ε (pues εc = ε - jσ/ω). Entonces,

tg δcε"/ε' = σ/(ωε) (Conductor)

Esto permite distinguir -en las aplicaciones de muy alta frecuencia- cuándo un material se comporta como buen conductor o como aislante:

Buen Conductor: σ >> ωε

Buen Aislante: σ << ωε

Por ejemplo se puede ver el comportamiento de la tierra húmeda que posee (aproximadamente) una permitividad relativa de 10 y una conductividad eléctrica de 0.01 S/m, para una onda de 1 kHz se comporta como buen conductor, pero para una onda de 10 GHz la tierra húmeda se comporta como aislante.


Fig. 25: Ley de Ampère-Maxwell para un medio lineal sin fuentes y con pérdidas, y permitividad compleja y ángulo de pérdidas para ese medio.


Aclaración importante (sobre las pérdidas DC y AC):
Cuando un conductor se utiliza en baja frecuencia o en corriente continua (DC), las pérdidas se deben a la disipación Joule. Para una dada corriente, mientras mayor es la conductividad eléctrica σ, menores son las pérdidas por disipación de calor.
Las “pérdidas” a las que se refiere este artículo son de otra naturaleza. Se aplican a las ondas de alta frecuencia de corriente alterna (AC), para las cuales es al revés: aumentan con la conductividad del material. Estas pérdidas se deben al apantallamiento y se manifiestan en la aparición de una parte imaginaria en la permitividad eléctrica.

Continuando con el formalismo matemático, si se escribe la ecuación de ondas para un medio conductor, como en vez de tener ε Real se tiene εc Complejo, resulta

2E(r) + kc2E(r) = 0

con el parámetro

kcω(μεc)1/2

Esta ecuación de onda es una expresión análoga a la ecuación vectorial de Helmholtz, pero con la profunda diferencia que kc es Complejo. En vez de kc se suele utilizar la cantidad compleja γα + jβ (con α y β Reales) denominada constante (compleja) de propagación, definida mediante:

γjkc

y entonces, la ecuación de ondas con fasores para un medio conductor resulta:

2E(r) - γ2E(r) = 0

El fasor solución de la ecuación de onda muestra que además de un "factor de fase" e-jβz debido a la velocidad finita de propagación, para el medio conductor aparece además un "factor de atenuación" e-αz que hace desvanecer a la onda a medida que penetra en el conductor. Esto es algo nuevo con consecuencias muy importantes, y que permite entender después, entre otras cosas, cómo funcionan las antenas.


Fig. 26: Ecuación de Onda y constante de propagación para un Campo Eléctrico de una sola frecuencia (monocromático) en un medio conductor. En la solución se ve un factor nuevo, de atenuación debido a las pérdidas del medio.


A partir de la constante de propagación

γα + jβjkc = jω(μεc)1/2 = jω[με'(1 - jε"/ε')]1/2

el análisis anterior permite separar el estudio del comportamiento de una onda monocromática de alta frecuencia en tres tipos de materiales:

(1) Dieléctrico perfecto:

Medio sin pérdidas: σ ≡ 0 S/m ∴ ε" = 0 y ε' = ε.

Entonces

α = 0 y β = k = ω(με)1/2

Se trata de un medio en el cual no hay atenuación (α = 0), donde la velocidad de fase es:

vp = λ f = ω/β = (με)-1/2

la longitud de onda

λ = 2π/k

y la impedancia intrínseca del medio dieléctrico perfecto:

η = (μ/ε)1/2


(2) Dieléctrico real:

Medio con pocas pérdidas: σ/(ωε) << 1 ∴ ε" << ε'.

Este es un caso importante, de un buen aislante, pero imperfecto. Se puede ver que en estos materiales la constante de atenuación α es aproximadamente proporcional a la frecuencia f, y la constante de fase β es muy similar al caso del dieléctrico perfecto.

La impedancia intrínseca (que es el cociente entre Ex y Hy en una onda plana uniforme que se propaga en Z) es un Número Complejo, lo que significa que las intensidades de los campos eléctrico y magnético no están en fase, como sí lo están en un dieléctrico sin pérdidas.

También se puede ver que la velocidad de fase

vp = λ f = ω/β

es ligeramente menor que su valor en el medio sin pérdidas.


(3) Buen conductor:

Medio con pérdidas considerables: σ/(ωε) = ε"/ε' >> 1, entonces

γjω[με'(-jε"/ε')]1/2 = (jωμσ)1/2 = (j2πfμσ)1/2

Pero como

j1/2 = (e jπ/2)1/2 = e jπ/4 = (1+j)/√2

resulta

γ ≈ (1+j)(πfμσ)1/2

Es decir que, para un buen conductor es:

α = β = (πfμσ)1/2

Con estas relaciones se puede ver que el caso del buen conductor corresponde a una velocidad de fase

vp = λ f = ω/β ≈ [2ω/(μσ)]1/2

que es muchos órdenes de magnitud menor que en el aire o vacío. Por ejemplo, en el cobre a 3MHz es 720 m/s !!!

La longitud de onda en un buen conductor es:

λ = 2π/β = vp/f = 2[π/(fμσ)]1/2

y la impedancia intrínseca en el buen conductor:

η = (μ/εc)1/2 ≈ (1+j) α/σ

que tiene un argumento de 45º (i.e., la intensidad del campo magnético está 45º retrasada con respecto a la intensidad del campo eléctrico).

Una cosa muy importante en el caso del buen conductor, es el denominado "apantallamiento" (shielding en inglés). La onda hace oscilar electrones libres del metal a la misma frecuencia, generando un campo electromagnético que tiende a anular o apantallar (impedir que penetre) a la propia onda que llega al metal. Entonces, a medida que penetra más, mueve más electrones libres generando más campo de apantallamiento, y atenuando más a la onda que llega. La longitud

δskinα-1 = (πfμσ)-1/2 ≈ (πfμ0σ)-1/2

a la cual la amplitud de una onda plana viajera se reduce en un factor de e -1 ≈ 0.368 (es decir, cercano al 37%), se conoce como profundidad de penetración de la onda de frecuencia f en el conductor de conductividad σ. Por ejemplo, para el cobre es 38 μm a 3MHz y 0.66 μm a 10GHz. La profundidad de penetración en un buen conductor (α = β) es del mismo orden de magnitud que la longitud de onda:

δskin = β-1 = λ/(2π)

Por esta razón, con frecuencias de microondas (1-300GHz) se habla de "piel", porque las corrientes y los campos están confinados en una delgada capa superficial.



5-MISCELÁNEAS

Cómo descubrió Maxwell que faltaba algo que nadie había medido? ...

No hay duda que realizó un análisis teórico sistemático, original y genial, pero quizás también haya sido guiado por la belleza de las expresiones matemáticas que describen las leyes del Electromagnetismo.

En primer lugar, Maxwell tenía que sintetizar matemáticamente en el mínimo número de ecuaciones, todos los fenómenos observados. La descripción teórica de todos los experimentos conocidos, pudo ser reconstruída por Maxwell gracias al magnífico trabajo experimental y matemático de muchos, principalmente Coulomb, ∅rsted, Ampère y Gauβ, y a la genial obra de Faraday, quien describió con increíble detalle (sin matemática) muchísimos experimentos. Afortunadamente, había una ecuación que no describía bien un sencillo experimento: el transitorio durante la carga y la descarga de un condensador.


Fig. 27: La Ley de Ampère no describe bien ni la carga ni la descarga de un condensador.


Lo que le faltaba era una magnitud con unidades de corriente eléctrica, pero de una intensidad varios órdenes de magnitud menor que la intensidad de corriente típica medible en los alambres. Asique resultaba difícil detectarlo en los experimentos eléctricos de la época. Esa cantidad se habría vuelto evidente en la teoría de las ondas electromagnéticas (debido a la alta frecuencia), pero éstas aún no se conocían. Por lo tanto, el descubrimiento fue absolutamente teórico, y fue posible gracias a un conocimiento avanzado de matemática y de la teoría.

Suele reconocerse como la mayor contribución de Maxwell agregar la corriente de desplazamiento a la Ley de Ampère. Pero no hizo solo eso. Generalmente en la investigación, uno aprecia solo el resultado, sin ver que detrás de ese "final feliz" hay fracasos y logros menores, obtenidos con mucho sacrificio y trabajo sistemático, muchas veces en condiciones adversas y que no es apreciado por los que ven la investigación científica desde fuera.

Para agregar correctamente el término que faltaba, Maxwell tuvo que reconocer que todas las demás ecuaciones eran correctas ! Y eso, es casi tan difícil y genial como lo otro.

El simple análisis de una corriente durante la carga o la descarga de un condensador, mostraba (a través del Teorema de Stokes) que la Ley circuital de Ampère es incorrecta en los procesos no estacionarios. Pero ... ¿qué era lo que estaba mal? y peor aún: ¿Habría más de una ecuación que también estuviese mal, que no funcione bien al intentar describir algún fenómeno específico?

Lo maravilloso de las ecuaciones que describen un fenómeno, es que a pesar de haberse deducido de un experimento en particular, son válidas también para otros nunca antes realizados. Más aún: las ecuaciones muchas veces indican cómo hay que hacer el experimento para que sea visible el resultado. En el caso de la Ley de Inducción Electromagnética de Faraday-Lenz, describía perfectamente muchos fenómenos complejos que se habían observado, asi que Maxwell decidió que esta relación era correcta.

Analizó la Ley de Gauβ del Magnetismo y decidió que nunca se pueden separar los polos magnéticos, y por lo tanto, esa ley debería ser correcta también.

Analizó la Ley de Coulomb-Gauβ de donde se deduce la Ley de Coulomb para cargas puntuales, y decidió que esta ley también era correcta. Sin embargo, al introducirla en la Ecuación de Continuidad de la carga, obtenía una expresión distinta a la Ley de Ampère para fenómenos no estacionarios. Si esas 2 estaban bien, deducía que habría un campo H* que cuando los fenómenos eran estacionarios, coincidía con el campo magnético H. Pero cuando los fenómenos variaban en el tiempo, le quedaba un término extraño, difícil de medir y que no sabía lo que significaba.

Maxwell debe haber dudado angustiosamente de la ecuación de continuidad ... pero después de revisar su deducción y consistencia con todo lo demás, decidió que esa relación también estaba bien. Y entonces, escogió la solución matemáticamente más elegante y simple, el cambio menor en toda la teoría: decidió que ese campo H* era exactamente el campo H, y que entonces a la Ley de Ampère le faltaba justamente ese término "extraño" (que ahora llamamos la densidad de corriente de desplazamiento).


Fig. 28: Concepción de la Ley de Ampère-Maxwell.


Una vez que decidió usar esa nueva y temeraria hipótesis, probó al conjunto completo de ecuaciones para ver qué podría concluir de esta nueva teoría. ¡¡Cuán grande habrá sido su sorpresa al encontrar matemáticamente que todos los potenciales y los campos electromagnéticos verifican una misma ecuación de onda, y que la velocidad de propagación es justamente 300 mil km/s, la velocidad de la luz!! Ante semejante resultado, era difícil creer que a la Naturaleza se le iba a escapar esta solución. ¡Su hipótesis debía ser correcta!

La belleza del resultado debe haberle producido tanta satisfacción como sorpresa. Acababa de demostrar teóricamente no solo la existencia de algo nuevo, insospechado y desconocido (las ondas electromagnéticas), sino además que la luz está formada por campos electromagnéticos, y que por lo tanto, todas las leyes de la Óptica con luz visible, se podían deducir de sus ecuaciones.

Pero el trabajo de Maxwell de 1865 estuvo muy adelantado para su tiempo. No pudo ver cuando Hertz, publicó en 1888 (23 años después de su Teoría) experimentos donde generó y detectó ondas electromagnéticas por primera vez, demostrando que se comportan como la luz, y que la sorprendente teoría de Maxwell era correcta.

Por otra parte, Einstein (que nació el año que murió Maxwell), cuando Hertz publicó sus resultados, ya era un niño de menos de 10 años, que desde su niñez estaba obsesionado con la Luz. Unos 12 años después, cuando Einstein estaba gestando silenciosa y solitariamente la Relatividad, Planck publica al final del 1900 la cuantificación de la energía en la materia. Einstein sintió que en el medio de su ansiedad y desesperación por cuadrar tantas cosas, aparecía algo más que iluminaba su camino. Asique por un lado siguió desarrollando la Electrodinámica de los cuerpos en movimiento, demoliendo finalmente la física de la época con una teoría extremadamente simple que explicaba muchísimos fenómenos muy complejos: La Teoría Especial de la Relatividad. Con esto dió el paso final, advertido antes por Hertz, situando (40 años más tarde) al Electromagnetismo de Maxwell en un contexto más general. Pero por otra parte, además dió otro paso en el conocimiento de la luz: explicó el efecto fotoeléctrico extendiendo la cuantificación de la energía a la luz misma. De este modo, también situó la nueva y aún increíble teoría de Planck en un contexto más general (De nuevo, con una teoría muy simple para fenómenos muy complejos). Planck leyó los dos trabajos de Einstein (junto con otros dos también increíblemente importantes y que envió simultáneamente), y nunca pudo salir de su asombro. Terminó sus días dudando hasta de su propia teoría.

Después de Newton, no hay ninguna duda que las revoluciones teóricas más grandes en la Física las produjeron las teorías de Maxwell y de Einstein en relación al Electromagnetismo, y de Planck, Einstein y otros en relación a la Física Cuántica. Pero ninguna fue apreciada inmediatamente por la comunidad científica, sino años después. La Teoría Especial de la Relatividad (1905) y la Teoría General de la Relatividad (1915) fueron tan avanzadas (incluso hasta hoy), que solo 16 años después Einstein obtuvo el Premio Nobel de Física (1921) solamente por el Efecto Fotoeléctrico. El reconocimiento por La Relatividad tardó 100 años, cuando justamente 2005 fue declarado "Año Internacional de la Física", y Einstein el "Hombre del Siglo".



REFERENCIAS

(1) Cheng D K 1993 Fundamentals of Engineering Electromagnetics (N.Y., Addison-Wesley)

En Castellano:
Cheng D K 1997 Fundamentos de Electromagnetismo para Ingeniería (Wilmington, Addison-Wesley Iberoamericana)

(2) Rodríguez Trelles F 1981 Notas de Electromagnetismo (Buenos Aires: Eudeba)



AGRADECIMIENTOS

Soy consciente que usando matemática, esta materia se vuelve demasiado técnica para el público general. Sin embargo me parece importante hacer el intento de explicarlo con operadores diferenciales vectoriales para que algunos estudiantes y profesores puedan aprovechar mejor lo que intento explicar. No puedo evitar recordar uno de los pasajes de "Uno y el universo" de Ernesto Sábato (1911- ), donde una persona le pide a Sábato (que era Dr. en Física cuando abandonó la Ciencia por su pasión por la Literatura), que le explique la "Teoría General de la Relatividad". La moraleja es que el tipo recién entendió todo, cuando Sábato quitó de su explicación las geodésicas, ecuaciones diferenciales, sistemas de coordenadas y vectores, que eran todos los elementos que la persona le dijo no comprender. La alegría a este señor le duró muy poco, porque Sábato acotó al final algo así como: "pero esto que Ud. entendió ya no es la Teoría General de la Relatividad". Del mismo modo, en mi opinión, la Teoría Electromagnética Clásica conlleva el manejo de operadores diferenciales vectoriales.

Agradezco la paciencia de algunos lectores, que me ayudan con sus preguntas y comentarios (como mi amigo Juan Antonio Jiménez Espadas, de Zaragoza, España).

También agradezco a Félix Rodríguez Trelles de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de Buenos Aires, que con su gran entusiasmo me transmitió en sus clases de 1981, la belleza del lenguaje matemático del Electromagnetismo y la audacia que las personas como Maxwell deben tener, para proponer una nueva teoría.



Apéndice "BANDAS DEL ESPECTRO ELECTROMAGNÉTICO"


1-OSCILACIONES ELÉCTRICAS DE BAJA FRECUENCIA 3Hz - 3kHz (100Mm - 100km):

(1a) Frecuencias Extremadamente Bajas (ELF), 3-30Hz (100-10Mm)
(1b) Frecuencias Súper Bajas (SLF), 30-300Hz (10-1Mm)
(1c) Frecuencias Ultra Bajas (ULF), 300-3000Hz (1000-100km)

2-RADIOFRECUENCIA (RF), 3kHz - 300GHz (100km - 1mm):

(2a) Frecuencias Muy Bajas (VLF), 3-30 kHz (100-10 km)
(2b) Frecuencias Bajas (LF) u "Ondas Largas" (LW), 30-300 kHz (10-1 km)
(2c) Frecuencias Medias (MF) u "Ondas Medias" (MW), 300-3000 kHz (1000-100 m)
(2d) Frecuencias Altas (HF) u "Ondas Cortas" (SW), 3-30 MHz (100-10 m)
(2e) Frecuencias Muy Altas (VHF), 30-300 MHz (10-1 m)
(2f) Frecuencias Ultra Altas (UHF), 300-1000 MHz (100-30 cm)
(2f´) Frecuencias Ultra Altas (cont.) (UHF (cont.) ), 1000-3000 MHz (30-10 cm)
(2g) Frecuencias Súper Altas (SHF), 3-30 GHz (10-1 cm)
(2h) Frecuencias Extremadamente Altas (EHF), 30-300 GHz (10-1 mm)

Los últimos 3 grupos suelen recibir el nombre de:

3-MICROONDAS, 1-300 GHz (300-1 mm):

(3a=2f´) Frecuencias Ultra Altas (cont.) (UHF (cont.) ), 1000-3000 MHz (30-10 cm)
(3b=2g) Frecuencias Súper Altas (SHF), 3-30 GHz (10-1 cm)
(3c=2h) Frecuencias Extremadamente Altas (EHF), 30-300 GHz (10-1 mm)


Fig.: Bandas de RF y Microondas (en escala logarítmica).


4-INFRAROJO (IR), 0.3-389 THz (1mm - 770nm):

(4a) IR Extremo 0.3-7.5 THz (1-0.04 mm)
(4b) IR Lejano 7.5-50 THz (40-6 micro-m)
(4c) IR Medio 50-200 THz (6000-1500 nm)
(4d) IR Cercano 200-389 THz (1500-770 nm)

5-VISIBLE (VIS), 389-769 THz (770-390 nm):

(5a) Rojo 389-482 THz (770-622 nm)
(5b) Naranja 482-502 THz (622-597 nm)
(5c) Amarillo 502-520 THz (597-577 nm)
(5d) Verde 520-609 THz (577-492 nm)
(5e) Azul 609-659 THz (492-455 nm)
(5f) Violeta 659-769 THz (455-390 nm)

6-ULTRAVIOLETA (UV), 769-30000 THz (390-10 nm):

(6a) UV Cercano 769-1000 THz (390-300 nm)
(6b) UV Lejano 1000-1500 THz (300-200 nm)
(6c) UV Extremo 1500-30000 THz (200-10 nm)

7-RAYOS X, 3×1016 - 3×1019 Hz (10-0.01 nm) (*)

8-RAYOS GAMMA, 3×1018 - 3×1022 Hz (0.1-10-5 nm) (*)

9-RAYOS CÓSMICOS, mayor que 1022 Hz (menor que 10-5 nm) (*)

(*) Los rangos de los 3 últimos se superponen, es decir, los últimos Rayos X con los primeros Rayos Gamma, y los últimos Rayos Gamma con los primeros Rayos Cósmicos. El nombre de la radiación en esos casos, depende del fenómeno del que proviene.

REFERENCIA:
Sze S M and Kwok K N 1981/2006 Physics of Semiconductors Devices 3rd. Ed. (NY: Wiley Interscience)



Apéndice "ALGUNAS CARACTERÍSTICAS DE LAS ONDAS"


(1) Principales tipos de Ondas

Un punto de vista importante para estudiar qué es una Onda Electromagnética, es ver qué cosa no es. Y lo mismo se puede decir de los otros tipos de ondas, o sea, ver qué aspecto esencial distingue a cada uno de los demás.

En un sólido, las ondas se propagan debido a que las deformaciones locales acercan y alejan a los átomos que forman (mediante enlaces) la red cristalina, produciendo compresiones y descompresiones en la microestructura del sólido (Es algo así como si cada átomo dentro de un sólido estuviese "enganchado" a cada átomo vecino con un resorte). A este tipo de ondas que pueden ser tanto longitudinales como transversales, se las denominan ondas elásticas, porque dependen de la elasticidad del medio.

En un fluido (líquido o gas), las ondas no pueden ser transversales, porque en los fluidos no hay esfuerzos de corte. La propagación de ondas en estos medios se debe a variaciones de presión, que solo pueden ser longitudinales, es decir, en la dirección de la propagación. Estas ondas se denominan ondas acústicas. Además, en relación al "sonido", las ondas acústicas se denominan ondas sonoras cuando son "audibles" por los seres humanos (16 Hz a 20 kHz aproximadamente) y ondas supersónicas cuando se propagan a mayor velocidad que el sonido (Mach > 1).

Las ondas que se propagan como pequeñas "olas" en la superficie del agua, son transversales y se denominan ondas de gravedad en la superficie de separación aire-agua, pues son debidas a la acción gravitatoria sobre cambios locales en el nivel del líquido.

En el vacío no puede haber ondas elásticas, ni acústicas ni de gravedad, porque no hay un medio para transmitir deformaciones, ni variaciones de presión, ni cambios en ningún nivel de separación. Por el contrario, las ondas electromagnéticas son oscilaciones eléctricas y magnéticas transversales a la dirección de propagación, determinadas por las Ecuaciones Fundamentales del Electromagnetismo y que no requieren un medio para propagarse.


(2) Algo sobre las velocidades de propagación

Al golpear fuertemente la superficie de un cuerpo sólido ("percusión"), actúa local y brevemente una fuerza muy grande que lo deforma alrededor del punto de impacto. Experimentalmente se comprueba que la deformación local que sufre esa parte del cuerpo, se propaga en el medio elástico, y además, a una velocidad finita cs. O sea, la deformación local se transmite a los átomos vecinos del sólido. En el caso de ondas longitudinales en un sólido homogéneo e isótropo, cs depende de la raiz cuadrada del módulo de elasticidad Es dividido por la densidad δ, cs-long = (Es/δ)1/2, mientras que para ondas transversales en vez de depender del módulo de elasticidad, depende del módulo de torsión Ts del material: cs-transv = (Ts/δ)1/2.

Cuando en vez de golpear un sólido, se aplica una variación brusca de presión en un medio gaseoso, se puede ver que las ondas son longitudinales pues lo que se transmite no son deformaciones sino variaciones de presión, y que la velocidad de propagación cgas depende de la raiz cuadrada de la variación de la presión p con la densidad δ, dada por la ecuación de estado termodinámico p(δ) del gas. De este modo, finalmente se obtiene que cgas depende de la raiz cuadrada de su temperatura T: cgas = (γgasRT/Mgas)1/2 , donde γgas es la relación entre los calores específicos a presión constante y a volumen constante del gas (γaire = 7/5 = 1.4 para el aire), Mgas el peso molecular del gas y R la constante molar de los gases, R = 8.314 472(15) J/(mol K). Con esto, a T = 273.15K (0°C) resulta caire(0°C) = 331 m/s para el aire y cH(0°C) = 1270 m/s para el hidrógeno.
La razón física de que para un dado gas sea cgas = constante x T1/2 independientemente de la presión se puede entender observando que la velocidad media <v> de las moléculas que componen el gas también es <v> = constante x T1/2 independientemente de la presión. En efecto, la temperatura del gas la determina la continua agitación térmica de las moléculas. A mayor T, mayor es la velocidad media <v> de las moléculas del gas. Consecuentemente, mayor es la velocidad con la que chocan entre sí transfiriéndose energía cinética, y por lo tanto, mayor la velocidad con la que se puede transmitir información en el medio gaseoso.

En el caso de las ondas electromagnéticas (como las Ondas de Radio), no hay necesidad de un medio material para que exista la propagación de la onda. Al contrario, se propagan a mayor velocidad en el vacío. Los vectores de campo eléctrico E y campo magnético B, vibrando transversalmente se propagan en la dirección y sentido del vector de onda k, a velocidad de la luz en el vacío: c = (ε0μ0)-1/2 = 299 792 458 m/s (tal como fue predicho por la Teoría de Maxwell en 1865, y demostrado experimentalmente por primera vez en 1888 por Hertz).

Se puede demostrar que el "vector de propagación" k y los vectores E y B son siempre ortogonales entre sí, de forma tal que el vector E x B "apunta" en la dirección y el sentido de propagación (k).

En un medio ópticamente más denso que el aire (como el agua o un vidrio) con permitividad eléctrica ε, permeabilidad magnética μ, e índice de refracción n > 1, la velocidad de propagación vn para una dada longitud de onda λ dentro de ese medio, es menor que en el vacío:

vn = (εμ)-1/2 = c/n


(3) Descripción matemática de una onda plana

Para describir la perturbación infinitesimal (elástica, acústica, de gravedad o electromagnética) en cada instante t y punto del espacio dado por el vector posición r, respecto de un sistema de coordenadas en el cual se observa la propagación, se utiliza una función vectorial F=F(r,t), que debe ser solución de la correspondiente ecuación de onda.

En algunos casos es posible simplificar la descripción del fenómeno ondulatorio, cuando todos los puntos r = (x,y,z) que tienen el mismo x, tienen también el mismo F. Es decir, F=F(x,t) no depende ni de y ni de z. A esta onda se la llama "onda plana" que se propaga en la dirección x (la onda está contenida en el plano YZ desplazándose en el eje X).

En el caso particular que para todo instante t y en todo punto r, el vector F sea siempre paralelo a la dirección de propagación x, la onda es "longitudinal" (como las ondas acústicas en el aire, dentro del agua o como puede ser dentro de un sólido).
Por el contrario, si las perturbaciones F son siempre perpendiculares a la dirección de propagación, la onda es "transversal" (como las ondas de gravedad en la superficie aire-agua, como pueden ser dentro de un sólido, y como la luz y las ondas de RF en el vacío o en cualquier medio en que se propaguen).

Siendo la perturbación F(x,t) una función de dos variables, una espacial x y la otra temporal t, es posible describir la propagación de dos formas:

(1) Ver el "perfil" F(x, t const.) = Rt(x) de perturbaciones para t fijo:
Es como tomar una fotografía en t, y ver cómo son las perturbaciones en distintos puntos del espacio. Entonces, si se consideran instantes sucesivos (como sucesivas "fotografías"), se ve cómo se propaga la onda.

(2) Estudiar cómo depende F(x const., t) = Gx(t) temporalmente, para un punto x fijo del espacio.

A continuación se considera la representación (1). Para el instante inicial t = 0, la función F(x,0)=R0(x) representa el estado o perfil inicial de perturbaciones. Suponiendo que no hay amortiguamiento de la onda, si se propaga hacia x crecientes con velocidad c, al cabo de un lapso t, todo el perfil de perturbaciones se habrá corrido una distancia "ct" hacia la derecha (sentido creciente de x). Es decir, la ecuación correspondiente al instante t será

Para t fijo: F(x,t) = R0(x-ct).

Lo anterior muestra que cuando hay propagación, la perturbación no depende de x y de t en forma independiente, sino que lo hace a través de la variable:

s = x-ct

Por lo tanto, hay una sola forma funcional R0(s) dada por el estado de perturbaciones en el instante inicial. Si la onda se propaga en sentido contrario, su descripción sería

Para t fijo: F(x,t) = R0(x+ct)

Todo esto también puede plantearse mediante la representación tipo (2): Sea x = 0 el punto fuente de una onda que se propaga hacia la derecha. En ese punto se produce la perturbación F(0,t)=G0(t). Suponiendo que esta perturbación se propaga sin atenuación hacia la derecha y con velocidad c, un punto x tendrá en un instante t la misma perturbación G0 que tenía en el punto fuente en un instante anterior o tiempo retardado "t - x/c", pues x/c es lo que tardó la perturbación en llegar al punto x. Entonces, el campo de perturbaciones en el instante t estará dado por la función:

Para x fijo: F(x,t) = G0(t - x/c)

Nuevamente, la perturbación F(x,t) depende de un solo argumento. Hay una sola forma funcional dada por la excitación del punto fuente, con la que el estado de perturbaciones queda determinado completamente para todo instante t.

Es importante observar que la propagación implica que x y t no puedan ser independientes, y que deban estar relacionadas justamente por la velocidad de propagación.


(4) El Principio de Superposición en los fenómenos ondulatorios

Siempre que un medio o el vacío es atravesado por 2 ó más ondas generadas por fuentes independientes entre sí, experimentalmente se observa que cada onda se propaga individualmente, sin ser influida por las demás, de modo que la perturbación o el efecto resultante en cada punto del medio (o del vacío) es exactamente la suma vectorial de los efectos individuales debidos a cada onda por separado (como si no existieran las otras).

Esta observación es un resultado experimental que no es nada trivial, y que no tiene demostración: La Naturaleza es así ! Se denomina "Principio de Superposición", y juega un papel esencial en la Física. En particular, está presente en todas las etapas del Sistema Transmisor-Receptor de Radio.

Hay dos resultados puramente matemáticos que a través del Principio de Superposición, pueden interpretarse físicamente, mostrando características fundamentales de los fenómenos ondulatorios.

(a) Teorema de Fourier:
Para cualquier función periódica que en el instante inicial t = 0 está representada por una función periódica F(x) tal que para todo m número natural m = 1, 2, 3, ..., es F(x+mλ) = F(x) y ∂F(x+mλ)/∂x = ∂F(x)/∂x (donde λ = c/f y ω = 2πf), entonces F(x) puede expresarse (dentro de ciertos límites) como una suma de funciones senoidales en la forma:

F(x) = a0 + a1 sin(ωx/c) + b1 cos(ωx/c) + a2 sin(2ωx/c) + b2 cos(2ωx/c) + a3 sin(3ωx/c) + ...

o equivalentemente

F(x) = a0 + a1 sin(2πx/λ) + b1 cos(2πx/λ) + a2 sin[2(2πx/λ)] + b2 cos[2(2πx/λ)] + a3 sin[3(2πx/λ)] + ...

que se denomina "Desarrollo en serie de Fourier de F(x)". Los coeficientes am y bm se calculan mediante expresiones integrales. Las sucesivas funciones senoidales amsin(ωmx/c) + bmcos(ωmx/c) tienen frecuencias fn = mf y frecuencias angulares ωm = crecientes, múltiplos enteros de f y de ω respectivamente, se denominan "armónicos" de la "frecuencia fundamental" f = c/λ y de la "frecuencia angular fundamental" ω.

Para armónicos crecientes, las longitudes de onda λn = λ/n son decrecientes. El conjunto {a0, a1, b1, a2, b2, a3, ...} de coeficientes de Fourier, constituye el "espectro armónico" de F(x).

Este importante teorema significa que en general, cualquier onda periódica de frecuencia f se puede tratar como una superposición física de ondas senoidales puras, armónicas de f. En el caso de propagación de ondas, T = 1/f representa el período, λ = c/f la longitud de onda, ω = 2πf la frecuencia angular y c la velocidad de propagación de la onda.

(b) El segundo resultado matemático es: Para cualquier par de ángulos α y β, vale la siguiente identidad trigonométrica:

sin α + sin β = 2 cos[(α-β)/2] sin[(α+β)/2]

En particular, se tienen los siguientes ejemplos importantes donde se usa esta relación:
(i) Interferencia de 2 ondas
(ii) Ondas Estacionarias
(iii) "Batido" de ondas


(i) Interferencia de dos ondas

Se consideran 2 ondas "progresivas" (es decir, no estacionarias), E1(x,t) y E2(x,t) senoidales, que se propagan en la misma dirección x, con la misma frecuencia angular ω, misma velocidad v, misma amplitud E0, pero con diferentes fases: φ1 y φ2. Por el Principio de Superposición se tiene que la onda resultante ER(x,t) será:

ER(x,t) ≡ E1(x,t) + E2(x,t) = E0 sin[ω(x/v - t) + φ1] + E0 sin[ω(x/v - t) + φ2]

es decir, de la forma

ER(x,t) = E0 ( sin α + sin β )

y usando la identidad trigonométrica válida para cualquier par de ángulos α y β, la onda resultante se puede escribir como

ER(x,t) = ER0 sin[ω(x/v - t) + φ+]

es decir, la resultante es otra onda senoidal que se propaga en la misma dirección, con la misma velocidad y frecuencia, con fase φ+ igual a la semisuma de las fases individuales:

φ+ ≡ (φ1+φ2)/2

y cuya amplitud depende de la diferencia de fases en la forma

ER0 ≡ 2E0 cosφ-

donde φ- es la semidiferencia de fases:

φ- ≡ (φ1-φ2)/2

Entonces, cuando están en fase (diferencia de fase nula), la amplitud es máxima e igual a ER0 = 2E0 (fenómeno denominado "Interferencia Constructiva"). Mientras que por el contrario, cuando están desfasadas 180 grados, se tiene ER0 = 0 (fenómeno denominado "Interferencia Total", en el cual las ondas interfieren "destructivamente").


(ii) Ondas estacionarias

Se consideran 2 ondas progresivas E1(x,t) y E2(x,t) senoidales, que se propagan en la misma dirección x pero en sentidos opuestos, con la misma longitud de onda λ, velocidad v y amplitud E0. Por lo tanto, por el Principio de Superposición se tiene que la onda resultante ER(x,t) será:

ER(x,t) ≡ E1(x,t) + E2(x,t) = E0 sin[(2π/λ)(x + vt) + φ1] + E0 sin[(2π/λ)(x - vt) + φ2]

es decir, otra vez resulta de la forma

ER(x,t) = E0 ( sin α + sin β )

y usando la misma identidad trigonométrica, la onda resultante se puede escribir como

ER(x,t) = 2E0 sin(2πx/λ + φ+) cos(2πvt/λ + φ-)

es decir, de la forma

ER(x,t) = 2E0 sinα(x) cosβ(t)

Se observa que han quedado separadas una función que depende de la coordenada espacial x, y otra que depende de la coordenada temporal t. La onda resultante ER(x,t) no es una función de una única variable s = x ± vt, es decir, no es una onda progresiva, sino una "onda estacionaria". Hay puntos situados en xN tales que

sin[2πxN/λ + φ+] = 0 ⇔ 2πxNm/λ + φ+ = mπ (con m = 0, 1, 2, ...)

es decir que para esos puntos denominados "nodos", situados en

xNm = (mπ - φ+)λ/(2π)

en todo instante t es ER = 0. Entre los nodos xN, se encuentran los "vientres" donde la elongación (y por lo tanto la energía elástica en el caso de un medio sólido) alcanza los valores máximos.

Análogamente se puede ver que existen tiempos para los cuales se anula la función temporal, es decir para los cuales no hay elongación en ningún punto x, o sea que toda la onda "desaparece" en esos instantes, siendo nula la energía elástica y máxima la energía cinética de las partículas del medio. Una onda estacionaria no representa un flujo neto de energía. Por el contrario, la energía está confinada en el medio, oscilando entre energía potencial y energía cinética.


(iii) Batido de dos ondas

Este es un fenómeno de especial importancia en las Ondas de Radio, y en particular en AM. Se consideran 2 ondas progresivas E1(x,t) y E2(x,t) senoidales, que se propagan en la misma dirección x, con la misma velocidad v, misma amplitud E0 pero con frecuencias angulares w1 y w2 levemente diferentes entre sí. Por ejemplo:

ω2 = ω1 + 2ω-

con ω- << ω1

Por lo tanto, por el Principio de Superposición se tiene que la onda resultante será:

ER(x,t) ≡ E1(x,t) + E2(x,t) = E0 sin[ω1(x/v - t) + φ1] + E0 sin[ω2(x/v - t) + φ2]

es decir, nuevamente de la forma

ER(x,t) = E0 ( sin α + sin β )

Entonces es fácil ver que la onda resultante se puede escribir como

ER(x,t) = ER0(t) sin[ω+(x/v - t) + φ+]

donde

ER0(t) ≡ 2E0 cos[ω-(x/v - t) + φ-]

ω- ≡ (ω2-ω1)/2

φ- ≡ (φ1-φ2)/2

ω+ ≡ (ω1+ω2)/2

φ+ ≡ (φ1+φ2)/2

Es decir, la resultante es otra onda senoidal, de frecuencia angular ω+, que se propaga en la misma dirección y con la misma velocidad, pero donde la amplitud está modulada senoidalmente con una frecuencia angular ω- mucho menor.

La representación gráfica de la onda en función de x en un instante fijo t, es una onda de alta frecuencia (ω+) dentro de una envolvente de baja frecuencia (ω-). La variación de la amplitud es tanto más lenta, cuanto más cercanas entre sí son las frecuencias individuales. En este fenómeno denominado "batido", se basa el principio de afinación de instrumentos, y la radiodifusión en amplitud modulada (AM).

REFERENCIA:
Roederer J G 1981 Mecánica Elemental, 7ma. Edición (Buenos Aires: Eudeba)



CÓMO HACER REFERENCIA A ESTE ARTÍCULO

Giordano J L 2009 Cómo funcionan las cosas: ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS (Ecuaciones de Maxwell) (Santiago: http://www.profísica.cl) http://www.profisica.cl/comofuncionan/como.php?id=45 (Consulta: Mes Día, Año)



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