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Problema:

Un joven atleta, capaz de saltar normalmente 4 metros de largo en tierra firme, se encuentra sobre una balsa y quiere mostrar su destreza a los amigos que lo observan desde la ribera. La balsa flota tranquilamente en perfecta calma separada 2 metros de la orilla. El joven, ubicado inicialmente en el extremo más alejado de la balsa (punto A de la figura), toma impulso y corre de un extremo al otro en dirección a tierra. Al llegar al extremo B de la balsa, el atleta ha logrado la velocidad necesaria para realizar el salto (8 m/s) y así lo hace como está acostumbrado. ¡Para sorpresa de todos los presentes, termina chapoteando en el agua!
Se pide analizar esta situación y explicar en conformidad a las leyes de la física la razón del fallido intento. La balsa, cuyo largo es 9 metros, tiene una masa de 300 kg y el joven por su parte 60 kg. Con estos datos hacer los cálculos suponiendo condiciones ideales.

Salto_largo


Se sugiere aplicar los teoremas del Centro de Masas y de Conservación del Momentum Lineal de la mecánica de Newton.

 

Solución:
Hay dos efectos que conjuntamente hacen fracasar el intento de salto desde la balsa hacia la orilla. Por una parte está el hecho que, al desplazarse el joven atleta desde el extremo A hasta el extremo B de la balsa, ésta se desplaza en sentido opuesto una cierta distancia ?x, debido a que el Centro de Masas del sistema formado por el hombre y la balsa debe permanecer fijo. En efecto, suponiendo que no hay roce con el agua (condición ideal), tenemos aquí un “problema de dos cuerpos” (el hombre y la balsa), de manera que las fuerzas que ejerce el joven con sus piernas sobre la balsa y la reacción con que ésta impulsa al joven hacia adelante, son “fuerzas internas de interacción”, y por lo tanto el Centro de Masas del sistema mecánico no puede verse afectado, permaneciendo fijo en el mismo lugar en que se encontraba antes de que el joven iniciara la carrera (“Teorema del Centro de Masas”).

Cuando el joven ha llegado al extremo B de la balsa para iniciar el salto, la balsa ha retrocedido 1,5 metros y la distancia a la orilla ya no es 2 metros, sino 3,5 metros. En efecto, para que el CM no se mueva, el desplazamiento del hombre ponderado por su masa hacia la derecha debe ser igual al desplazamiento de la balsa ponderado por la masa de ésta hacia la izquierda. Esto significa que, si llamamos m la masa del joven, M y L la masa y el largo, respectivamente, de la balsa, y ?x el desplazamiento debido al retroceso:

m (L – ?x) = M ?x

De donde se desprende que:

?x = mL / (m + M) = 60x9 / (60 + 300) = 540 / 360 = 1,5 metros

O sea, por causa del Teorema del Centro de Masas, la separación entre la balsa y la orilla ha aumentado en 1,5 metros, y ahora es 3,5 metros, pero todavía ella es menor a los 4 metros que el atleta puede saltar en tierra firme. Por lo tanto, parecería que puede tener éxito en su intento. Sin embargo interviene aquí otro efecto, a saber, la velocidad V’ que lleva el joven al llegar a B es inferior a la velocidad Vo = 8 m/s que necesita para saltar 4 metros en tierra firme, debido a que la balsa se está moviendo hacia atrás. Podemos calcular la velocidad de retroceso de la balsa apelando de nuevo al Teorema del Centro de Masas. Dado que el CM no se mueve, la velocidad “ponderada” del joven hacia la derecha (o sea “multiplicada por su masa”) debe ser igual a la velocidad “ponderada” de la balsa hacia la izquierda (o sea, multiplicada por la masa de ésta).

Esto significa que, si llamamos Vr la velocidad de retroceso de la balsa y V’ la velocidad efectiva del joven respecto a tierra al momento de saltar, debe cumplirse:

V’m = Vr M

De aquí se desprende que: Vr = (m/M) V’

Pero, debido al movimiento de retroceso: V’ = (Vo – Vr),

de manera que: Vr = (m/M) (Vo – Vr),

Despejando ahora la velocidad de retroceso de la balsa, obtenemos:

Vr = m Vo / (m + M) = 60x8 / (60 + 300) = 480 / 360 = 1,33 m/s

Dado que la balsa retrocede con una rapidez de 1,33 m/s, la velocidad efectiva que lleva el joven al llegar a B, o sea la velocidad respecto a tierra, no es 8 m/s sino sólo V’ = 6,66 m/s. Con esta menor velocidad, el salto no alcanzará los 4 metros de largo como ocurriría en tierra. La pregunta que queda por resolver es si acaso alcanza a cubrir los 3,5 metros que separan la balsa de la ribera al momento del salto.

Suponiendo (como dice el enunciado del problema) que el atleta efectúa un salto similar al que está acostumbrado a realizar en tierra, o sea aplica el mismo envión inicial hacia arriba, y suponiendo además que la balsa no se hunde apreciablemente (en rigor esta es una condición ideal, que corresponde más bien al caso que reemplazáramos la balsa por un carro que puede deslizarse sin roce sobre rieles horizontales), entonces podemos concluir que el salto debiera alcanzar, en el mejor de los casos, igual altura que en tierra y durar por lo tanto el mismo tiempo de vuelo, vale decir, ½ segundo (ya que abarca 4 metros con velocidad horizontal de 8 m/s).

Pero al saltar ahora desde la balsa, como vimos, la velocidad efectiva es sólo 6,66 m/s. Se concluye entonces, que un salto similar al de tierra, en condiciones óptimas, alcanzará solamente a cubrir una distancia igual a V’t, siendo t = ½ segundo el tiempo de vuelo. O sea:

Alcance del salto desde la balsa: X = V’ t = 6,66 (½) = 3,33 metros

¡Comparando este alcance con la separación existente al momento del salto, vemos que le falta al joven cubrir 16,6 centímetros, por lo que inefablemente termina chapoteando en el agua!


Comentario:

Nótese que el concepto usado en el texto de “velocidad ponderada”, vale decir, el producto de la masa por la velocidad de un objeto, equivale al concepto dinámico “cantidad de movimiento lineal” o “momentum lineal” del objeto. Por eso, el mismo resultado se logra si en lugar del Teorema del Centro de Masas hubiésemos apelado al Teorema de la Conservación del Momentum Lineal, el cual dice que un sistema mecánico conserva su momentum lineal a menos que fuerzas externas actúen sobre él. En nuestro caso actúan sólo fuerzas internas, de manera que la conservación del Momentum Lineal del sistema exige que el momentum que adquiere el atleta al correr en una dirección debe ser igual y contrario al momentum que adquiere la balsa, y así el momentum total no cambia. El momentum adquirido por la balsa cuando el joven acelera y salta se denomina “impulso de retroceso”, o “retroimpulso”. Típico retroimpulso es, por ejemplo, el movimiento que adquiere la carcasa de un misil hacia adelante cuando los gases son acelerados y expulsados hacia atrás. Por otra parte, el trabajo mecánico realizado por estas fuerzas internas se reparte como energía cinética entre los cuerpos en interacción, pero la repartición es muy desigual: si bien ambos objetos adquieren igual cantidad de momentum, no ocurre lo mismo con la energía, ya que el cuerpo de mayor masa queda con menor velocidad y por lo tanto con mucho menos energía cinética.

Otro comentario pertinente es el siguiente: al correr o saltar una persona en la superficie del planeta Tierra, también podemos aplicar en rigor los teoremas del Centro de Masas y del Momentum Lineal al sistema formado por la Tierra y la persona, ¡como si toda la Tierra fuese una balsa que flota libremente en el espacio! Así la Tierra adquiere un impulso de retroceso cuya velocidad es completamente imperceptible (dada la enorme masa de la Tierra), aproximadamente 10 elevado a 24 veces menor que la velocidad de la persona, y por lo tanto la energía absorbida por la Tierra en este ínfimo movimiento de retroceso es prácticamente nula. Así, todo el trabajo realizado por las piernas al empujar la Tierra hacia atrás se convierte en energía cinética de la persona. Lo mismo podemos decir de un automóvil o de cualquier vehículo que se mueve sobre la Tierra.

RESULTADO:

Pese a las variadas respuestas recibidas, en esta ocasión el Consejo de PROFISICA acordó declarar desierto el concurso de este mes debido a que ninguna de ellas explicó con claridad el fenómeno del retroceso de la balsa ni calculó el alcance que tendría el salto. Agradecemos a quienes participaron y los animamos a abordar el nuevo problema, que es mucho más sencillo.
Problema propuesto por el profesor Jorge Ossandon
Septiembre 2006