Problema:

Usted va a participar en un torneo panamericano de tiro al blanco y para ello adquiere un rifle de alta precisión, con mira telescópica, el cual ha sido especialmente diseñado por la fábrica de manera tal que a una distancia de 300 metros la bala debe pasar exactamente por el centro del blanco observado en la mira telescópica. La fábrica garantiza que la trayectoria parabólica de la bala, cuya velocidad es de 500 metros por segundo, ha sido perfectamente calculada y tomada en cuenta al ajustar la mira. El torneo se realiza en la ciudad de Quito, Ecuador. Para evitar el encandilamiento provocado por el Sol, en la mañana del día fijado el blanco es ubicado a 300 metros hacia el Oeste, mientras en la tarde se ubica a 300 metros hacia el Este. A usted le toca participar tanto en la sesión matinal como en la vespertina. Con sorpresa y enorme disgusto usted comprueba que sus disparos de la mañana se han desviado sistemáticamente unos 13 milímetros hacia abajo del blanco, en cambio los disparos de la tarde se han desviado los mismos 13 milímetros hacia arriba, pese a su extremo cuidado en apuntar exactamente al centro. Al regresar a casa y revisar sus cuadernos de física usted concluye que este resultado era perfectamente previsible y lo tendrá muy presente en los próximos torneos, cualquiera sea el lugar donde se realicen. ¿Puede explicar esta conclusión a los amigos de PROFISICA?

Solución:

(preparada por Prof. Jorge Ossandón)

Este es un típico efecto debido a la rotación del sistema de referencia, sistema que en este caso corresponde al marco del horizonte, con centro (u "origen") fijo en un punto geográfico de la superficie terrestre. Este marco local de referencia posee un movimiento de traslación instantáneo y un movimiento de rotación instantáneo. El primero de estos movimientos (debido al desplazamiento de la Tierra en el espacio) no afecta la trayectoria aparente de la bala, ya que la ecuación de Newton es invariante a las traslaciones. La rotación, en cambio, genera una desviación respecto de la trayectoria que seguiría la bala en un marco sin rotación (o “inercial”). En efecto, al expresar la ecuación de Newton en un sistema de referencia que rota con velocidad angular surge una aceleración aparente (o “ficticia”), llamada Aceleración de Coriolis, la cual tiene una magnitud:

A_c = 2 V

Aquí "V" representa la velocidad de la bala. Nótese que si el marco no rota, o si el objeto no se mueve en el marco local, tal aceleración no existe. La aceleración de Coriolis apunta siempre en dirección perpendicular tanto a la velocidad del objeto como al eje de rotación terrestre. Cuando la bala avanza sobre la línea ecuatorial hacia el Oeste, la aceleración de Coriolis es vertical hacia abajo, y se superpone a la aceleración de gravedad. Una manera simple de visualizar este fenómeno puede ser la siguiente: aceptemos que la bala en su vuelo describe una trayectoria que apunta directamente hacia el centro del blanco determinado por la mira telescópica al momento del disparo; sin embargo, en el lapso entre el disparo y el impacto, el blanco ha debido moverse "hacia arriba" ya que éste se aproxima a lo largo de un arco de la esfera terrestre mientras la mira telescópica apunta a lo largo de la línea recta (o "cuerda") entre ambos puntos. Por lo tanto, la bala impacta por debajo del centro. Este corrimiento aparente hacia abajo se interpreta en términos de la aceleración mencionada. Lo contrario ocurre cuando la bala avanza hacia el Este. En este último caso, el blanco se corre “hacia abajo”, de modo que la bala impacta por arriba del centro.

Para calcular aproximadamente la desviación total "d" experimentada por la bala al finalizar su trayectoria, podemos usar la simple fórmula de aceleración constante:

d = 0.5 A_c t²

donde "t" representa el tiempo de vuelo, cuyo valor es simplemente L/V, siendo L la distancia recorrida. Si sustituimos en esta expresión el valor de "t" y la magnitud de Ac (dada por la primera fórmula) obtenemos finalmente:

d = L²/ V

La velocidad angular de la Tierra corresponde, con buena aproximación, a 2 radianes en 24 horas, lo que equivale a 6,28 : 86400 = 7,27 x 10^-5 radianes por segundo. Así, la magnitud de la desviación total para una distancia L = 300 m y una velocidad V = 500 m/s resulta ser:

d = 13,1 mm

Nótese que si el blanco está el doble más lejos, la desviación es cuatro veces mayor. Por otra parte, si la velocidad de la bala es el doble mayor, la desviación se reduce a la mitad.

COMENTARIO:

La aceleración de Coriolis afecta a todo móvil sobre la superficie terrestre, en cualquier lugar geográfico y dirección de movimiento. Tratándose de un proyectil en general, la magnitud y orientación de la desviación provocada por ella dependerán no sólo de las variables ,L, V, sino también de variables angulares como la latitud geográfica y la dirección en que avanza el proyectil. Nótese que este efecto se superpone a los efectos provocados por otros factores, tales como la aceleración de gravedad y el roce con el aire.

Agradecemos a todos quienes nos enviaron intentos de solución al presente problema. Si bien ninguno abordó correctamente el tema de la rotación del marco de referencia, quien anduvo más cerca fue el señor Héctor Pasten Vásquez, estudiante del colegio Deutsche Schule de La Unión, quien recibirá el premio de este mes otorgado por Editorial Pearson. -

Publicado originalmente en Febrero de 2005