Problema:
Un joven trapecista hace piruetas de equilibrio en lo alto de una escala de bomberos de 10 metros de largo que se encuentra en posición veertical sobre el suelo. De improviso, la escala se desequilibra y empieza a voltearse irremediablemente. ¿Qué le conviene más al trapecista: soltarse de inmediato y caer verticalmente al suelo, o mantenerse aferrado a la punta de la escala hasta que ésta termine de caer? ¿En qué caso la velocidad de impacto contra el suelo sería menor?.
NOTA: Calcule cuánto mayor es la velocidad de impacto contra el suelo en el peor caso, suponiendo que el joven pesa 50 kilos y la escala 100 kilos.
SOLUCION
preparada por el profesor. Jorge Ossandón (Q.E.P.D.)
Contrariamente a lo que pensaría la mayoría de la gente, más le conviene al trapecista soltarse de inmediato y caer verticalmente al suelo en lugar de mantenerse aferrado a la punta de la escala, porque en el primer caso la velocidad con que se estrellará contra el suelo será menor. En efecto, usando la ley de conservación de la energía, podemos calcular la velocidad con que llega al suelo en cada caso.
Caso A: "caída libre": La energía potencial inicial del trapecista, mgL, se convierte toda en energía cinética de traslación, ½mv2, con lo que la velocidad final es:
vA = (2gL)½ = (2x9,8x10 )½ = (196)½ = 14 m/s
Segundo caso: "caída aferrado": Ahora el joven forma un solo sistema mecánico con la escala. La energía potencial inicial del sistema (trapecista + escala) será: mgL + Mg(L/2), (con "m" = masa del joven y "M" = masa de la escala), energía que es obviamente mayor a la del caso anterior. Si el punto de apoyo "O" de la escala no se desliza, esta cantidad se convertirá enteramente en energía cinética de rotación del sistema, a saber, ½ I w2, siendo "I" el momento de inercia en torno al punto O, y "w" la velocidad de rotación angular al instante del impacto:
E(pot) = mgL + Mg(L/2) = ½ I w2 = E(rot)
Pero el momento de inercia "I" es igual a la suma del momento de inercia de la escala respecto al punto de apoyo (1/3 ML2), más el momento de inercia del hombre (mL2) respecto al mismo punto:
I = 1/3 ML2 + mL2
Sustituyendo esta expresión en la ecuación anterior, el balance energético queda así:
mgL + Mg(L/2) = ½ (1/3 M + m) w2 L2
Se observa finalmente que el producto "wL" es precisamente la velocidad "vB" con que el trapecista impacta en este caso contra el suelo (ya que en un movimiento circular la velocidad tangencial es igual a la velocidad angular multiplicada por el radio del círculo). O sea, despejando wL, obtenemos:
vB= {2 g L (m + ½M) / (1/3 M + m)} ½
Antes de calcular observamos que {2gL}½ es nuestro conocido valor "vA" de la caída libre, de modo que podemos escribir el resultado así:
vB= vA { ( ½ M + m) / ( 1/3 M + m)} ½
Al evaluar la raíz cuadrada del cuociente que está entre paréntesis, usando los valores de las masas (M = 100 kg, m = 50 kg) obtenemos el resultado:
vB = 1,0954 vA = 15,335 m/s
¡Sorprendente: ahora la velocidad de impacto contra el suelo es casi 10 % mayor que en caída libre! Nótese que el factor de aumento depende de la relación entre las masas: si m es mucho menor que M (caso de un niño, por ejemplo), el factor alcanza un tope de 1,225 que equivale a un 22,5 % de aumento.
COMENTARIO
Hubo en esta ocasión varias respuestas correctas. ¡Felicitamos a quienes nos enviaron la solución correcta, entre ellos colegas y estudiantes de distintos establecimientos del país! Por otra parte, alentamos al resto a seguir participando, sin perder el entusiasmo. PROFISICA ha designado como ganador en esta oportunidad al colega PABLO MUÑOZ GUTBERLET, profesor del Colegio ANTARES, de La Florida, Santiago, quien se hace acreedor al premio de un texto de Física otorgado por la Editorial Pearson.
Publicado originalmente en Mayo de 2005