Problema:
Considere una balanza que ha sido perfectamente ajustada a cero con el platillo vacío. Luego se deja caer desde una altura de 5 metros sobre la balanza una secuencia uniforme de bolitas, a razón de 20 bolitas por segundo, las cuales son todas iguales y pesan 10 gramos cada una. En el caso ideal que cada bolita rebota elásticamente en el platillo y luego salta hacia afuera, ¿qué peso marcará la balanza en promedio?
SOLUCION
preparada por el profesor. Jorge Ossandón (Q.E.P.D.)
De acuerdo a la Segunda Ley de Newton, todo cambio en la cantidad de movimiento “P ≡ MV” (o “momentum lineal”) de un cuerpo de masa constante es provocado por una fuerza externa F que actúa sobre él, de tal manera que la magnitud de dicha fuerza equivale al cambio de P por unidad de tiempo. Esto se expresa en la fórmula:
F = ΔP/ Δt
Ahora bien, cuando las bolitas chocan contra la balanza ejercen una acción sobre ella, como resultado de la cual las bolitas rebotan y cambian su movimiento. Ello significa que la balanza ejerce sobre las bolitas una fuerza de reacción, porque de otra manera sería imposible que éstas modificaran su estado de movimiento.
Por otra parte, la Tercera Ley de Newton nos dice que la fuerza de reacción es igual y contraria a la de acción. Por eso, la magnitud de la fuerza de acción que ejercen las bolitas sobre la balanza puede calcularse evaluando la fuerza de reacción de ésta sobre ellas, o sea, evaluando el cambio que experimenta la cantidad de movimiento del conjunto de bolitas en el lapso de un segundo.
Ahora bien, cada bolita al rebotar elásticamente (o sea, sin perder energía), cambia su cantidad de movimiento “MV” (siendo M la masa y V la velocidad) desde el valor “MV” hacia adelante (signo +) al valor “MV” hacia atrás (signo -). O sea, el cambio de la cantidad de movimiento de cada bolita es -2MV. Como caen en promedio 20 bolitas por segundo, con igual masa y velocidad, el cambio total de la cantidad de movimiento en una unidad de tiempo será igual a 20 veces este valor, o sea, - 40 MV. Esto se resume en la expresión:
F = ΔP/ Δt = - 40 MV
El signo (-) indica que la fuerza de reacción actúa hacia atrás, pero en nuestro caso el signo es irrelevante ya que nos interesa sólo la magnitud.
Como cada bolita tiene masa M = 10 g = 0,01 kg, y cae libremente desde una altura de 5 metros, su velocidad al chocar abajo es, simplemente,
V = (2gh)½ = 9,899 m/s
(aquí hemos usado el valor g = 9,8 m/s2 para la aceleración de gravedad)
Por lo tanto, la fuerza total F que las bolitas ejercen sobre la balanza en promedio tendrá la siguiente magnitud:
F = 40 MV = 40 x 0,01 x 9,899 = 3,959 N ~ 0,404 kp ~ 404 gp
En consecuencia, la balanza marcará un valor medio de 404 gramos mientras dura el experimento.
COMENTARIO:
En esta oportunidad recibimos muchas respuestas, pero la mayoría contenía errores tanto de conceptos como de metodología para encontrar la solución. Es una satisfacción para PROFISICA, por lo tanto, premiar a la señorita NATALIA GARCIA, estudiante del OSORNO COLLEGE, quien fue la primera participante en hacernos llegar la solución correcta a este problema. La Srta. GARCIA se hace acreedora al premio de un texto de Física otorgado por la Editorial Pearson, a elección entre los que figuran en la sección PREMIOS.
Publicado originalmente en Julio de 2005