Problema:
Desde una ventana ubicada a 8 metros de altura, una bella joven pide auxilio en un edificio en llamas. Una delgada escala de aluminio, que pesa 50 kilos, está apoyada a la pared vertical al lado de la ventana. Su extremo inferior queda sobre un piso de baldosas, separado 5 metros de la base de la pared. Existe serio riesgo de que la escala resbale. De hecho, el coeficiente de roce estático del aluminio con la baldosa apenas alcanza el valor 0,5. ¿Qué es preferible desde el punto de vista técnico: que suba al rescate un fornido y experimentado bombero, cuyo peso bordea los 90 kilos, o un joven aprendiz de no más de 60 kilos? Calcular la altura máxima a la cual puede llegar una persona sin que la escala resbale, y explicar lo que ocurre. Despreciar el roce entre la escala y la pared vertical.
SOLUCION
preparada por el profesor. Jorge Ossandón (Q.E.P.D.)
La respuesta correcta indica que es preferible que suba al rescate el joven aprendiz en lugar del fornido bombero, porque a mayor peso del bombero mayor riesgo que resbale la escala antes que éste llegue arriba. Veamos la demostración. Este es un típico problema de equilibrio estático en el plano de la figura ("estática plana"). Las condiciones de equilibrio exigen que se anule la suma de todas las fuerzas que actúan sobre la escala y también que se anule la suma de todos los torques generados por dichas fuerzas en torno a cualquier eje perpendicular al plano. ¿Cuáles son las fuerzas que actúan sobre la escala? Consideremos la figura adjunta: En dirección horizontal (eje "X") están la componente horizontal de la reacción del piso, (correspondiente a la fuerza de roce estático), que decimos que es "positiva" porque apunta hacia la derecha, y la reacción " NB" de la pared en el punto B, la cual por tratarse de una superficie sin roce, es perpendicular a la pared y apunta hacia la izquierda (su signo es negativo).
FR - NB = 0
Estas fuerzas tienen igual magnitud pero signo contrario.
Por otra parte, en dirección vertical (eje "Y") están la fuerza Mg con que la Tierra atrae a la escala y el peso mg del bombero (siendo "M" y "m" las masas de la escala y del bombero respectivamente). Ambas apuntan hacia abajo (por eso diremos que son negativas). Ellas están compensadas por la componente vertical de la reacción del piso en el punto de apoyo O (llamada "reacción normal"), que apunta hacia arriba (positiva), lo que se resume en la ecuación 2:
NO - Mg - mg = 0
Para aplicar la condición de torques, podemos elegir un eje de rotación cualquiera que sea perpendicular al plano. Elijamos el eje que pasa por O. Esta elección simplifica las ecuaciones porque hay dos fuerzas que no ejercen torque respecto a dicho eje, a saber, las dos componentes de la reacción del piso en O. Así, la condición de torques indica que el torque positivo (vale decir, en sentido "dextrógiro") que ejercen ambas fuerzas Mg y mg en torno de O (las cuales tienden a voltear la escala hacia la derecha) debe verse compensado por el torque negativo (o "levógiro") que ejerce la reacción de la pared sobre la escala, como indica la ecuación 3:
Mg(D/2) + mgx - NB H = 0
¿Qué ocurre a medida que el bombero asciende? Al desplazarse el peso del bombero hacia la derecha de O aumenta la distancia "x" (o "brazo" de la fuerza mg) y por lo tanto aumenta la magnitud del torque positivo y asimismo la presión que ejerce la escala contra la pared en el punto B. La escala mantiene su equilibrio y no se vuelca porque la pared del edificio reacciona con creciente intensidad. A medida que crece la reacción de la pared en B, debe aumentar también la fuerza de roce estático en O, para mantener el equilibrio de fuerzas horizontales. ¡El desastre se produce cuando la fuerza de roce estático alcanza su máximo valor FR en O y no puede crecer más! Ello depende del tipo de superficies en contacto y la presión entre éstas. El máximo valor FR (máx) está dado por la fórmula:
FR (máx) = mN,
siendo "m" el coeficiente de roce estático y N la magnitud de la reacción "normal" (o perpendicular) del piso. ¡Por tratarse de un coeficiente pequeño de roce entre aluminio y baldosa, es perfectamente posible que la escala resbale antes que el bombero llegue arriba!
Analicemos cómo dependen de la masa "m" del bombero la máxima altura "h" o la máxima distancia "x" alcanzables. Estos valores críticos ocurren cuando NB alcanza el valor FR (máx), o sea, cuando:
NB = mN
Introduciendo esta condición en la ecuación 3 y reemplazando en ella la información contenida en las ecuaciones 1 y 2, procedemos a despejar la variable "x", resultando:
xmáx = [m(Mg + mg) H - 1/2 MgD] / mg
o, correspondientemente:
hmáx = (H/D) xmáx = (m H2/D) + (m H - 1/2 D) (H/D) (M/ m)
Nótese que el segundo término de esta expresión es proporcional al factor M/m. O sea, a menor masa m del bombero, manteniendo todo lo demás fijo ("ceteris paribus"), mayor altura es alcanzable. Sustituyendo en la expresión 7 los valores H = 8 m, D = 5 m, m = 0.5, M = 50 kg, y tomando para m la masa del bombero fornido (90 kg), ¡resulta que la máxima altura que éste puede subir antes que resbale la escala es 7.73 metros! En cambio el jóven aprendiz de masa 60 kg no tiene problemas para alcanzar la altura de 8 metros.
COMENTARIO: En esta oportunidad el ganador fue el Sr. JOSE TOMAS ABARCA DIAZ, profesor del Instituto O´Higgins de Rancagua, quien resolvió correctamente el problema planteado, por lo que se hace acreedor al premio de un texto de física otorgado por Editorial Pearson.
Publicado originalmente en Noviebre de 2005