Problema:

Un joven debe lanzarse por una pendiente en bicicleta, pero sin pedalear. ¿Qué le conviene más para llegar antes abajo: una bicicleta de rueda grande o una de rueda chica? Suponga que las bicicletas, salvo por el tamaño y masa de las ruedas, son en todo lo demás iguales. Desprecie los efectos del roce con el aire y la fricción de los rodamientos.

SOLUCION
preparada por el profesor. Jorge Ossandón (Q.E.P.D.)
 

Sean m y R la masa y el radio de las ruedas, I su momento de inercia y M la masa del marco de la bicicleta más el ciclista. Nótese que M, por hipótesis, es una constante que no depende de la bicicleta que se trate. En cambio m y R, y por lo tanto I, cambian significativamente si se trata de bicicleta de aro grande o de aro chico. Por ejemplo, si el radio de la rueda chica es la mitad del de la grande, su masa también será aproximadamente la mitad. En efecto, una rueda de bicicleta puede considerarse idealmente como un “aro”, con toda su masa distribuida homogéneamente a lo largo del perímetro de la rueda (el cual es proporcional a R). El momento de inercia en tal caso es simplemente I = mR².

Para responder la pregunta del problema, podemos acudir al teorema de conservación de la energía mecánica, según el cual, la disminución de energía potencial U al bajar una altura h se transforma en energía cinética de traslación K del vehículo más energía cinética de rotación K_r de las ruedas.

U = K + K_r

Nótese que esta igualdad supone que el ciclista no pedalea, o sea, no ejerce trabajo sobre el sistema, ni que aplica los frenos, restando energía mecánica. También supone que no hay roce con el aire ni fricción en los rodamientos.

Evaluando los términos de la ecuación (1) obtenemos:

(M + 2m)gh = ½ (M + 2m) v² + 2 (½ Iw²)

Aquí se ha denominado v = velocidad de traslación de la bicicleta, y w = velocidad de rotación de las ruedas, todo ello al cabo de bajar una altura h. Dado que las ruedas “ruedan” y no patinan, se cumple: v = wR. Por lo tanto, despejando v² de la ecuación (2), luego de sustituir en ella I = mR², obtenemos:

v² = 2gh [(M + 2m)/ (M + 4m)]

y finalmente,

v = ( 2gh)^½ [(M + 2m)/ (M + 4m)]^½

Esta expresión (4) nos da la clave para responder la pregunta. Nótese que la velocidad de traslación que adquiere la bicicleta a medida que va descendiendo por la pendiente no depende directamente del radio de las ruedas (ya que R ha desaparecido de la ecuación), sino sólo indirectamente, a través de la masa m. En efecto, la variable relevante es la masa de la rueda en relación a la masa del resto de la bicicleta (o sea, el cuociente m/M).

En primer lugar observamos que si las ruedas son minúsculas, vale decir, si m es mucho menor que M, entonces el factor que aparece entre paréntesis cuadrados tiende a 1 y la velocidad es simplemente v_o = ( 2gh)^½. Este resultado corresponde a la caída libre de una partícula, en que toda la energía potencial se convierte en energía cinética de traslación, sin que haya energía de rotación.

En segundo lugar, si eliminamos el marco de la bicicleta (incluido el ciclista) y dejamos sólo las ruedas, vale decir, si M es mucho menor que m, entonces: v = (gh)^½ = 0.71 v_o. Esta es la velocidad que adquiere un aro (o un cilindro hueco) que rueda por un plano inclinado, cualesquiera sean su radio y su masa. O sea, si dejamos rodar libremente una rueda de aro grande y una de aro chico, ambas llegarán abajo simultáneamente, pero su velocidad es menor que en el caso de la partícula.

Finalmente, tratándose de una bicicleta, la situación es intermedia ya que no podemos despreciar m ni M. En este caso, observamos que el factor de masa que aparece entre paréntesis cuadrados en el lado derecho de la ecuación (4) tiene siempre un valor menor que 1. Más aún, comprobamos que a medida que m crece – (siendo M fijo) - dicho factor disminuye y por lo tanto la velocidad que adquiere la bicicleta será menor. (Ver ejemplo numérico más abajo). O sea, una bicicleta de rueda grande, dadas idénticas condiciones en todo lo demás, adquirirá velocidad más lentamente que la bicicleta de rueda chica. Por lo tanto, ¡al joven le conviene más la bicicleta de rueda chica para llegar antes abajo!

NOTA: Ejemplos numéricos: Si m = ½ M, resulta: v = 0,82v_o; si m = M, resulta: v = 0.77v_o. Con m = 2M obtenemos v = 0.74v_o y con m = 3M la velocidad es aún menor: v = 0.73 v_o.

COMENTARIO:

En esta oportunidad recibimos muchas respuestas, pero pocas acertaron y menos aún las que explicaron correctamente lo que ocurre. Las opiniones se dividieron más o menos por igual en favor de la rueda grande o de la rueda chica, sin buenos argumentos. Hubo varios participantes que hicieron notar que ambas ruedas bajarían a igual velocidad, pero olvidaron considerar que ellas transportan una carga adicional M, lo cual explica la diferencia. PROFISICA acordó premiar en esta ocasión al Sr. CRISTIAN JAVIER GUAQUIN SOTO, estudiante del primer Año de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Chile, cuya respuesta contiene un desarrollo completo de la solución. El ganador se hace acreedor de un texto de física general otorgado por la Editorial Pearson.

Publicado originalmente en Septiembre de 2005