Problema:
Dos personas se encuentran paradas sobre el borde de una plataforma horizontal rotatoria en posiciones diametralmente opuestas. La plataforma está girando sin roce con velocidad angular constante alrededor de su eje central vertical. Repentinamente ambas personas dan un par de pasos en dirección al centro de la plataforma, tirándose de una cuerda entre ellos.
NOTA: Indicar las alternativas correctas para cada pregunta, con una breve explicación sobre los fundamentos en que se basa la respuesta.
PREGUNTA I: ¿Qué ocurre con la velocidad angular (de rotación) de las personas y de su plataforma?
(a) Aumenta
(b) Disminuye
(c) No cambia
PREGUNTA II: ¿Qué ocurre con el trabajo realizado por las dos personas al acercarse al centro?
(a) El trabajo es nulo porque las personas se desplazan horizontalmente.
(b) El trabajo disminuye a medida que ellas se acercan al centro.
(c) El trabajo no ejerce ningún efecto mecánico, y su energía se disipa en la atmósfera.
(d) El trabajo se transforma en energía rotacional de la plataforma y de las personas.
(e) El trabajo realizado por una persona es igual y contrario al trabajo realizado por la otra, de modo que ambos se compensan.
SOLUCION
preparada por el profesor J. L Giordano
Pregunta I: La respuesta correcta a esta pregunta es la alternativa “A”: la velocidad angular aumenta! Una explicación abreviada es la siguiente: En vista que no hay fuerzas externas que ejerzan torques alrededor del eje vertical, ni fuerzas de roce que se opongan al movimiento, las leyes de Newton afirman que el MOMENTUM ANGULAR del sistema formado por la plataforma y las personas:
debe permanecer constante, (siendo I el momento de inercia total, y “w” la velocidad angular de rotación). ¡Nótese que no es “w” la que debe permanecer constante, sino “L”!
Al acercarse las personas al centro de la plataforma, su distancia al eje disminuye y - dado que ellas poseen masa “m” - disminuye asimismo el momento de inercia “I” del sistema y por lo tanto aumenta la velocidad de rotación.
Pregunta II: la respuesta correcta a esta pregunta es la alternativa “D”. Todas las demás alternativas son falsas. En efecto, las fuerzas centrífugas que afectan a ambas personas al rotar aumentan su intensidad a medida que éstas se aproximan al centro. Las personas, por lo tanto, deben hacer un esfuerzo (o “trabajo”) creciente en contra de dichas fuerzas. En vista que la fuerza centrífuga está dada por la expresión:
siendo “m” la masa de cada persona y “r” su distancia al eje, al disminuir “r” aumenta “w”, y más aún aumenta w2, de manera que el producto “w2r” crece a menor distancia del eje. Así, la disminución de “r” no logra compensar el aumento de w2. Por lo tanto, las personas deben hacer un trabajo cada vez mayor por cada metro adicional que se acercan al centro. Aún cuando el Momentum Angular del sistema permanece constante, no ocurre lo mismo con su energía cinética de rotación:
¡Obsérvese en esta expresión que la energía cinética de rotación aumenta en la misma proporción que la velocidad angular! ¿De dónde surge esta mayor energía? La única fuente que proporciona energía adicional al sistema son las personas, cuyo trabajo en contra de las fuerzas centrífugas al aproximarse al eje se convierte en dicha energía cinética adicional. Esta afirmación puede verificarse directamente si se calculan independientemente el aumento de la energía y la magnitud del trabajo realizado.
El ganador en esta ocasión fue José Ignacio Rodriguez, estudiante, Universidad de Los Andes, Santiago.
Publicado originalmente en Enero de 2004