Problema:
¿Qué espesor mínimo debe tener una tapa de alcantarillado para que no la levante un viento huracanado de 150 km/h?
Suponga que la tapa está hecha de fierro (cuya densidad es 7,8 g/cm3), tiene espesor uniforme y está apoyada horizontalmente sobre el borde de una cámara de alcantarillado en medio de una amplia avenida sin más anclaje que su propio peso.
SOLUCION
preparada por el profesor J. L Giordano
Al soplar el viento, la presión disminuye al interior de la corriente de aire y se produce un fenómeno de succión que atrae a los objetos hacia su interior. Para que la tapa no sea levantada por dicha corriente, es necesario que su peso sea mayor o igual que la fuerza de la succión. Esta última puede calcularse como el producto que resulta de multiplicar el área A de la tapa por la diferencia entre las presiones del aire por arriba y por debajo de dicha tapa.
La presión por debajo PD es simplemente igual a la presión del aire en reposo dentro de la cámara, o simplemente presión atmosférica (estática) sobre la superficie terrestre (Po) :
La presión por el lado de arriba PA puede calcularse usando el Teorema de Bernoulli (Daniel Bernoulli, “Hydrodynamica”, 1738) según el cual, en un fluido incompresible, no viscoso, que fluye en estado estacionario, se mantiene constante a todo lo largo de una línea de flujo el valor de la siguiente expresión:
v2 + g h
En esta expresión, P es la presión del fluido, es su densidad, v es su velocidad, g es la aceleración de gravedad y h es la altura del punto donde se evalúan las demás variables. Pues bien, consideremos el lado de arriba de la tapa, que está a ras del suelo. Aquí tenemos h = 0, o sea:
v2
Por otro lado, podemos evaluar B a gran altura H sobre las nubes, donde el aire está prácticamente en reposo. Allí tenemos:
H
Observando esta última expresión, y recordando el Principio de Arquímedes, nos damos cuenta que su valor equivale a la presión estática del aire al fondo de un recipiente de altura H, o sea, equivale a la presión que ejerce la atmósfera sobre la superficie de la tierra, y que hemos llamado Po.
Dado que ambos valores de B deben ser iguales, resulta entonces:
v2
Pero según la primera ecuación, Po es precisamente la presión que hay por debajo de la tapa, dentro de la cámara de alcantarillado. Encontramos así que la presión por arriba de la tapa es mucho menor que la presión por debajo, lo que explica el fenómeno de succión:
v2
La fuerza de succión será entonces igual al producto de la diferencia de presiones por el área A de la tapa y su intensidad es proporcional al cuadrado de la velocidad del viento:
v2
Dado que la densidad del aire es 1,3 kg/m3 resulta que un viento de 150 km/h ( o 41,7 metros por segundo) genera una diferencia de presiones de aproximadamente 1130 Newtons por metro cuadrado (“Pascales”) o, equivalentemente, 115 kilos-peso por metro cuadrado. Si la tapa tuviese un metro cuadrado de superficie, debiera pesar a lo menos 115 kilos para no ser levantada. Dada la densidad del acero, significa que su espesor debe ser, a lo menos, de 15 milímetros.
COMENTARIO:
El presente ejercicio es una aplicación directa del Teorema de Bernoulli y nos permite apreciar la magnitud de las fuerzas de succión provocadas por el viento. Este fenómeno afecta de la misma manera a las tapas de los basureros, a los techos de las casas, a las ventanas de los edificios, etc. ¡Un caso dramático de succión ocurre cuando se desprende una ventana de avión en pleno vuelo! Por eso, la dinámica de fluidos debe ser tomada muy en cuenta cuando se diseña construcciones, utensilios, máquinas y vehículos de transporte, etc., especialmente cuando estos objetos están expuestos a corrientes de aire a altas velocidades.
El ganador en esta ocasión fue Jorge Astorga, profesor, Programa Chile Califica.
Publicado originalmente en Noviembre-Diciembre de 2003