Problema:

Si dejamos caer simultaneamente (con velocidad inicial cero) desde la cima de la Torre de Pisa (o de cualquiera otra torre) dos bolas, por ejemplo una bola de billar y otra de acero, ambas de igual tamaño y con sus superficies bien pulidas de manera que el roce con el aire sea idéntico en ambos casos, ¿cuál de ellas llega primero abajo?

SOLUCION
preparada por el profesor Jorge Ossandón (QEPD)
 

Llega primero abajo la esfera más densa, o sea, la de acero. En efecto, si bien la aceleración de gravedad “g” es igual para ambas esferas, no lo es, en cambio, la aceleración negativa provocada por la fuerza del “empuje de Arquímedes” que actúa en contra de la gravedad y se opone a la caída libre.

JUSTIFICACION

Sabido es que el peso P, o fuerza con que la Tierra atrae a los cuerpos, es proporcional a la masa M de éstos (Newton), de modo que la aceleración de gravedad g = P/M será la misma para ambas bolas, cualesquiera sean sus masas.

Esto es lo que intentó demostrar Galileo con su famoso experimento de la Torre de Pisa, o sea, que diferentes cuerpos caen con igual aceleración en caída libre. Sin embargo, dado que el experimento no se hace en vacío sino que en el aire, hay a lo menos dos fuerzas adicionales (suponiendo aire quieto) que tienden a frenar la caída: el empuje E y el roce R.

En el problema planteado, tanto E como R son iguales para ambas esferas, ya que ambas tienen igual forma y superficie, pero su efecto es mayor sobre la esfera de menor masa, la cual verá rezagada su caída respecto de la más pesada. 

VALOR ESTIMADO DEL REZAGO

Para simplificar, podemos despreciar el roce con el aire puesto que las superficies de las esferas están bien pulidas y las velocidades son moderadas. Estimemos solamente el efecto producido por el empuje. Toda fuerza que actúa sobre un cuerpo provoca una aceleración igual al cuociente entre la fuerza y la masa.

Así, el empuje E provoca sobre la esfera de masa M una aceleración (en contra de la caída libre) de magnitud: a = E/M. Pero sabemos que la masa M es igual al volumen V de la esfera multiplicado por la densidad D del material.

Por su parte, el empuje es igual al peso del fluido desplazado, o sea,

E = gVd, siendo g = aceleración de gravedad, V = volumen de la esfera y d = densidad del aire.

La aceleración hacia arriba debida al empuje resulta ser, por lo tanto, a = g(d/D). Nótese que este efecto del empuje no depende de la masa ni del tamaño de la esfera, sino sólo del cuociente entre las densidades del aire y del material. Considerando dos bolas de distintas densidades, el efecto será mayor en la de menor densidad, por lo que ésta quedará rezagada en su caída respecto de la otra.

Si llamamos “t” al tiempo que demora la primera esfera en llegar al suelo, el rezago de la segunda esfera respecto de la primera será:

r = ½ (a₁ - a₂) t²

Pero a₁ = g(d/D₁) y a₂ = g(d/D₂).

Además, para el tiempo de caída desde una altura H tenemos la expresión aproximada:

t² = 2H/g,

de modo que al reemplazar estas igualdades en la ecuación de r resulta finalmente:

r = Hd(1/D₁ - 1/D₂)

Veamos la magnitud del efecto eligiendo valores típicos.

Sabemos que la densidad del aire (d) es 0,0013 g/cm3; la densidad de la bola de billar es aproximadamente 2 g/cm3 y la densidad del acero es cercana a 8 g/cm3.

Por lo tanto, si dejamos caer simultáneamente ambas bolas, por ejemplo, desde una torre de 100 metros de altura, la de acero llegará abajo unos 5 centímetros por delante de la de billar. ¡Para observar este efecto, Galileo hubiese requerido un fallo fotográfico!

COMENTARIO

Agradecemos a nuestros lectores su gentileza de enviar respuestas al problema planteado. Lamentablemente, esta vez el concurso ha quedado desierto por falta de respuestas correctas.

Publicado originalmente en Noviembre de 2001